第一章5，6 节.pptVIP

说 明 由例 1，可知，两种情形中都有 这表明，在有放回情形，事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上是没有影响的，即事件 A 与 B 呈现出某种独立性． 由此，我们引出事件独立性的概念 第一章 概率论的基本概念 在不放回情形有： 在有放回情形有： 在不放回情形，事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上是有影响的，即事件 A 与 B 呈现出不独立性． 退 出 前一页 后一页 目 录 ( ) ( ) A B P B P = ( ) ( ) A B P B P 1 定义： 设 A、B 是两个随机事件，如果 则称 A 与 B 是相互独立的随机事件． 二、事件独立性的性质： 1）如果事件A 与 B 相互独立，而且 ( ) ( ) ) ( ) ( A P AB P A B P B P = = 第一章 概率论的基本概念 2）必然事件S与任意随机事件A相互独立； 不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立． 3)若随机事件 A 与 B 相互独立，则 也相互独立. 证明：为方便起见，只证 相互独立即可． 这个性质很重要！ 由于 退 出 前一页 后一页 目 录 第一章 概率论的基本概念 注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。 退 出 前一页 后一页 目 录 例 2 设事件 A 与 B 满足： 若事件 A 与 B 相互独立，则 AB≠Φ；（逆否命题〕 若 AB =Φ，则事件 A 与 B 不相互独立． 证明： 第一章 概率论的基本概念 退 出 前一页 后一页 目 录 由于AB =Φ，所以 但是，由题设 这表明，事件 A 与 B 不相互独立． 第一章 概率论的基本概念 此例说明：互不相容与相互 独立不能同时成立。 退 出 前一页 后一页 目 录 三、多个事件的独立性 设A、B、C是三个随机事件， 第一章 概率论的基本概念 1）三个事件的独立性： 则称A、B、C是相互独立的随机事件． 注意：在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的．即：前三个等式的成立推不出最后一个等式；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立． 试想：n个随机事件的独立性的定义及性质。 如果 退 出 前一页 后一页 目 录 　例 3 袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分别涂有红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜色．现从袋中任意取出一球，令： A={ 取出的球涂有红色 } B={ 取出的球涂有白色 } C={ 取出的球涂有黑色 } 则： 第一章 概率论的基本概念 退 出 前一页 后一页 目 录 由此可见 但是 这表明，A、B、C这三个事件是两两独立的，但不是相互独立的． 第一章 概率论的基本概念 退 出 前一页 后一页 目 录 2）n个事件的相互独立性： 第一章 概率论的基本概念 退 出 前一页 后一页 目 录 说 明 在上面的公式中， 第一章 概率论的基本概念 退 出 前一页 后一页 目 录 第一章 概率论的基本概念 3）独立随机事件的性质： 则：（1）其中任意 个随机事件也相互 独立； 退 出 前一页 后一页 目 录 若 是相互独立的事件，则 4）相互独立事件至少发生其一的概率的计算： 第一章 概率论的基本概念 在本章第2节介绍了下面这个公式 在独立的条件下有： 退 出 前一页 后一页 目 录 第一章 概率论的基本概念 注 意 退 出 前一页 后一页 目 录 特别地，如果 ( ) ( ) ( ) p n A P A P A P = = = = L 2 1 则有 , 时 当 ￥ ? n ( ) n p n i i A P - - = ? ? ? ? è ? = 1 1 1 U 1 ? 第一章 概率论的基本概念 此例说明：小概率事件虽然在一次试验中几乎是不发生的，但是迟早要发生。 不论 p 多么小 退 出 前一页 后一页 目 录 3） 2） 1） n 例4 如果构成系统的每个元件的可靠性均为r，0r1.且各元件能否正常工作是相互独立的，试求下列系统的可靠性： 第一章 概率论的基本概念 退 出 前一页 后一页 目 录 1）每条通路要能正常工作，当且仅当该通路上的各元件都正常工作，故可靠性为 第一章 概率论的基本概念 2）一条通路发生故障的概率为 两条通路同时发生故障的概率为 故系统的可靠性为