定积分计算 广义积分.pptVIP

§5.6 广义积分 定积分是在积分区间有限且被积函数有界的条件下引入 的，但在实际问题中常会遇到积分区间无限或被积函数无界 的情形。这时需要推广定积分的概念，考虑无限区间上的积 分和无界函数的积分。前者称为无穷限积分，后者称为瑕积 分，统称为广义积分或非正常积分。 一、无穷限广义积分 无穷限积 分。 无穷限积分的计算是通过变上限函数的极限进行的。 1、概念 定义 函数f(x)在[a,+∞)连续，若极限 收敛， 积分值。记为： 发散。 类似可定义 定义 收敛，并称 的积分值。 上述三种积分统称为无穷限积分。 即 2、几何意义 (y=0)构成的(向右无限延伸的)图形的面积(如下图)。 3、计算 由定义可知，无穷限广义积分的计算是变上限函数的求极 限运算。只要用定积分的方法求出积分上限函数，再求极限就 可以了。一般可以用Newton-Leibniz公式的形式表述过程：若 F(x)为f(x)的一个原函数，则 例1 计算下列广义积分： 练习 研究下面广义积分的敛散性，若收敛，求其积分值。 解题过程 由(3)可知，“对称区间上奇函数的积分为零”在广义积分 中要慎用。 作业： 研究下面广义积分的敛散性，若收敛，求其积分值。 答案 二、无界函数的广义积分 定义 存在，则称之为f(x)在[a,b)上的瑕积分，记作 收敛。x=b称为f(x)的瑕点。 发散。 当被积函数在积分区间内有无穷间断点时，同样用极限 形式定义其值。 当确定了瑕积分的瑕点后，瑕积分的计算就相当于变上限 函数的求极限运算。 例 研究下面广义积分的敛散性，若收敛，求其积分值。 解题过程 练习 研究下面广义积分的敛散性，若收敛，求其积分值。 答案 三、Γ函数 定义的函数称为Γ函数。 1730年Euler在给Goldbach的一封信中发现了两个用广义 积分形式刻画的函数，后来他在《无限小分析引论》中进行 了论述。1811年Legendre将其中一个函数命名为Gamma函数 或Γ函数，记为Γ(s)。 Γ函数是超越函数(不是初等函数)， 它的发现对函数概念的拓广影响很大。 定义 由广义积分 关于Γ函数的收敛性， Euler已经证明： 定理 当s0时Γ函数收敛。 性质(Γ函数的计算) 故 用分部积分法可得 用L’Hospital法则 其中 因此原积分发散。 §5.5 定积分的计算 一、微积分基本定理 定积分的计算是通过计算不定积分来进行的，为叙述简 便，首先介绍原函数存在性定理。 1、原函数存在性定理 定义 设f(x)在[a,b]上连续。对任意x∈[a,b]，由f(t)在[a,x] 上连续， 则f(t)在[a,x]可积，即存在唯一的一个数 之对应，这样形成的的函数称为f(x)的积分上限函数或变上限 函数，一般记为 定理(原函数存在性定理) 上的一个原函数。即 利用这个定理可以求含变上限函数的函数的导数。 备忘 解 练习 可以看作是由 和u=sinx复合而成。 由复合函数的求导法则得 用同样的方法可得 解 对积分上下限函数的求导运算熟练以后，就可以利用导数 研究含有积分形式的函数的性质，例如单调性、极值、凹凸性 或用L’Hospital法则求极限等等。 例3 解 由f ′(x)=(1+x)arctanx=0得f(x)的驻点x=-1、x=0 。又 因此 练习 函数f(x)是以T为周期的连续周期函数，试证： 证 设F(u)= 则 又 2、微积分基本定理 原函数存在性定理定积分与不定积分(原函数)之间的关 系，这就为利用不定积分计算定积分提供了思路。17世纪后 半叶，Newton和Leibniz分别独立地发现了下面的定理，这个 定理在微积分中占有重要地位，被称为微积分基本定理。 定理(微积分基本定理) 函数f(x)在[a,b]上连续，F(x)为f(x)的一个原函数，则有 通常记作 称为Newton-Leibniz公式。 由微积分基本定理可知，要计算定积分，只需求出原函 数(即计算不定积分)，代入上、下限做差即可。因此，定积分 的计算实质上仍是不定积分的计算。 当被积函数是分段函数时，若分段区间的端点在积分区 间内，则应利用区间可加性把积分区间分为多部分计算。 注 计算定积分时所找出的原函数必须在积分区间内连续 (可导)，且在积分区间内为被积函数的原函数。如等式