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第六章 利用元素法解决: 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用 定积分的应用 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的元素法 一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ? 第六章 表示为 一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 定积分定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有关的一个整体量 ; 二 、如何应用定积分解决问题 ? 第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部 微分表达式 第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的 积分表达式 这种分析方法成为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等 量的近似值 精确值 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 第二节 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 一、平面图形面积 1、直角坐标系情形 解 两曲线的交点 面积元素 解 两曲线的交点 于是所求面积 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题： 解 两曲线的交点 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 解 椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． 例4. 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析：曲线的方程为参数方程，围成图形如图所示， (3) 求定积分：所求的几何图形的面积可表示为： 目标在哪？ 在以…为X轴 以…为Y轴， 坐标是... 以学院南路为X轴 以兴谭路为Y轴... 请问： 去蛇口怎么走？ 以深南大道为X轴 以南新路为Y轴... 以深南大道为X轴 以南新路为Y轴... 从这向南 2000米。 请问： 去蛇口怎么走？ 请分析上面这句话，告诉了人家什么？ 从这向南走2000米！ 出发点 方向 距离 在生活中我们经常用距离和方向来表示一点的位置。用距离和方向表示平面上一点的位置，就是极坐标。 ρ = 2rsin θ ρ = 2rcos θ ρ = r 面积元素 曲边扇形的面积 2、极坐标系情形 对应 例5. 计算阿基米德螺线 解: 点击图片任意处 播放开始或暂停 机动 目录 上页 下页 返回 结束  从 0 变到 2 所围图形面积 . 例6. 计算心形线 所围图形的 面积 . 解: (利用对称性) 心形线 目录 上页 下页 返回 结束 心形线(外摆线的一种) 即 尖点: 面积: 弧长: 参数的几何意义 心形线 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 计算心形线 与圆 所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8. 求双纽线 所围图形面积 . 解: 利用对称性 , 则所求面积为 思考: 用定积分表示该双纽线与圆 所围公共部分的面积 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案: 解 由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积 点击图中任意点 动画开始或暂停 解 利用对称性知 思考题 思考题解答 积分得 所以所求曲线为 练 习 题 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 一、旋转体的体积 旋转体的体积为 解 解 解 补充 利用这个公式，可知上例中 垂直 x 轴的截面是椭圆 例. 计算由曲面 所围立体(椭球体) 解: 它的面积为 因此椭球体体积为 特别当 a = b = c 时就是球体体积 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的体积. 例. 求曲线 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积. (94 考研) 解: 利用对称性 , 故旋转体体积为 在第一象限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 体积元素为 二、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算. 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 旋转体的体积 平行截面面积为已知的立体的体积 绕非轴直线旋转一周 三、小结 思考题 思考题解答 交点 立体体积 备用题 解： 1. 求曲线