多元 极值 简单优化.pptVIP

微积分 在现代经济管理中，有许多最优化问题属于多元函数的 极值和最值问题。同一元函数类似，其最值也与其极值有十 分密切的联系；以下以二元函数为例用多元函数微分法先来 讨论多元函数的极值，再讨论多元函数的最值。 定义 设函数z=f(x,y)在P0(x0,y0)的某邻域D(P0)有定义，若 对 §4.6 多元函数的极值 一、多元函数的极值 则称f(x0,y0)为f(x,y)的极大(小)值，P0为f(x,y)的极大(小)值点。 极大值(点)和极小值(点)统称为极值(点)。 . 与一元函数的情况类似，二元函数的极值可用偏导数讨 论，对应的定理为： 定理(极值存在的必要条件) 若z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极值，且其一阶偏导数存在，则 一般地，称满足此式的点(x0,y0)为z=f(x,y)的驻点。 由此看出，要找极值点，只要找出偏导数都等于零和偏导数(至少一个)不存在的点，极值点一定在其中。但此定理的逆命题不真，即驻点（偏导数不存在的点）不一定是极值点。因此这些点中有的是极值点，有的不是极值点。哪一个是极值点、哪一个不是极值点还需进一步判断。 由于在平面中无法分清一个点的“左右”，因此一元函数 的极值存在的第一判别法无法推广到二元函数中。但对第二 判别法，即用二阶导数的符号确定极值，可以推广过来，可 得到下面的定理： 定理(极值存在的充分条件) 设函数z=f(x,y)在P0(x0,y0)的某邻域连续，且存在二阶偏导 数， 总结 求多元函数的极值步骤： ①求出一阶、二阶偏导数； ②求驻点； ③列表计算A、B、C ，求极值。 答案 解题过程 例 求f(x,y)=x3+y3+3x2+3y2-9x的极值。 练习 求f(x,y)=xy(a-x-y)的极值(a≠0)。 前面学过闭区域上连续函数的最值定理：有界闭区域上的 连续函数必有最大值和最小值。 对闭区域上的连续函数，要求其最值，应求出其驻点、偏 导数不存在的点、边界点所对应的函数值中的最值。但要求出 边界点对应的函数值的最大值、最小值是非常困难的(当边界 可用函数表示时相当于马上要讲到的条件极值计算)。一般来 说，若由实际意义知函数存在着最大值或最小值，而函数在给 定区域内只有一个驻点时，可认为此点即为最值点。 二、多元函数的最值 例1 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品, 两个市场的需求 函数分别是 ,其中 和 分别表示该产品在两个市场 的价格(单位:万元/吨), 和 分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量, 单位:吨)并且该企业生产这种 产品的总成本函数是C=2Q+5, 其中Q表示该产品在 两个市场的销售总量,即Q= + . (1)如果该企业实行价格差别策略,试确定两个市场上该产品销售量和价格,使该企业获得最大利润: (2)如果该企业实行价格无差别策略, 试确定两个市场上该产品销售量及统一的价格,使该企业的总利润最大化:并比较两种价格策略下的总利润大小. 解 (1)企业实行价格差别策略时,总利润函数为 解得驻点Q1=4,Q2=5.又 A0,则在两个市场的销售量分别为4吨和5吨时,总利润最大,最大利润为L1(4,5)=52万元.此时,两个市场的价格分别为P1=10万元/吨, P2=7万元/吨. (2)企业实行价格无差别策略时,总利润函数为 令 得驻点P=8.又 故统一价格为8万元/吨时,总利润最大,最大总利润为L2(8)=49万元,此时Q1=5,Q2=4. 实行价格差别策略时的最大利润大于实行价格无差别策略时的最大利润,故企业应实行价格差别策略. 由 得驻点 时，纯利最大。 例2 某厂生产某种产品，成本为每件2元，当销售价格为每件P元， 每月广告费为D元时，平均月销量为 求纯利润最大时的价格与广告费。 解 月纯利润为 注 与一元函数不同，当多元函数在某区域内只有一个极 值点时，该点并不一定就是最值点。例如函数 f(x,y)=3xy-(x3+y3) 在有界闭区域D={(x,y):|x|≤2,|y|≤2}内有唯一极大值f(1,1)=1， 但经计算知最大值在边界上取得：f(-