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微分方程 上页 下页 返回 §7.4 二阶微分方程 一、二阶常系数齐次线性方程 二、二阶常系数非齐次线性方程 三、可降阶的微分方程 返 回 二阶常系数线性微分方程的一般形式 二阶常系数齐次线性方程 二阶常系数非齐次线性方程 二阶微分方程的一般形式 一、二阶常系数齐次线性方程 定理 如果函数 与 是以上方程的两个解,那么 也是方程的解.（ 是任意常数） 问题: 定义 设 为定义在区间 内的 个函数．如果存在 个不全 为零的常数 ，使得在该区间内有恒等式成立 那么称这 个函数在区间 内线性相关,否则称线性无关. 如 线性无关; 线性相关. 例如 问题转化为求y+ay+by=0的两个线性无关的特解。 由于此方程的系数为常数，我们需要一个函数，这个函数 的导数与它本身只相差一个常数。容易解得，只有指数函数 y=erx满足这个要求。因此，我们假设特解为y=erx ，通过特征方程法求r： 特征方程法 将其代入方程y+ay+by=0, 得 故有 特征方程 特征根 1.有两个相异实根 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 特征根为 2.有重根 一特解为 得齐次方程的通解为 特征根为 实数域内负数是没有平方根的(没有一个实数的平方等于 负数)。由于分析和计算的需要，数学家们引进了虚数单位i， 规定i2=-1，即 对数值方程r2+ar+b=0，配方得 当Δ=a2-4b0时，4b-a20 。开方得到 由此得到方程的两个复数根： 3.有一对共轭复根 重新组合 得齐次方程的通解为 方程的两个特征根记为 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例1 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例2 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例3 练习 求微分方程y -4y+3y=0的通解。 求微分方程y+6y+9y=0的通解。 答案 y=C1ex+C2e3x y=(C1+C2x)e-3x 求方程y+4y=0的通解。 y=C1cos2x+C2sin2x 二.二阶常系数非齐次线性方程 定理 设 是方程(**)的一个特解, 是与之对应的齐次方程(*) 的通解, 则方程(**)的通解为 设方程(**)特解为 ,代入原方程 综上讨论 特别地 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程, 得 原方程通解为 例4 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程, 得 原方程通解为 例5 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程, 得 原方程通解为 例6 例7 求方程y-2y+y=12xex的通解 解 特征方程r2-2r+1=0的解为r1=r2 =1，则原方程对应 的齐次方程的通解为 y=(C1+C2x)ex f(x)=12xex，1是重根。设原方程的一个特解为y*=x2(Ax+B)ex，代入得 [Ax3+(6A+B)x2+(6A+4B)x+2B]ex -2[Ax3+(3A+B)x2+2Bx]ex +(Ax3+Bx2)ex=12xex 解得A=2， B=0，因此原方程的一个特解为y*=2x3ex 。 原方程的的通解为 y= (C1+C2x)ex +2x3ex 练习 1.求方程4y-12y+9y=ex的通解 2.求方程y+2y-3y=16xex的通解 1解 特征方程4r2-12r+9=0的解为r1=r2=3/2，则原方程对应 的齐次方程的通解为 f(x)=ex，设原方程的一个特解为y*=Aex ，代入得 4Aex-12Aex+9Aex=ex 解得A=1，因此原方程的一个特解为y*=ex 。 原方程的的通解为 2解 特征方程r2+2r-3=0的解为r1=-3，r2 =1，则原方程对应 的齐次方程的通解为 y=C1e-3x+C2ex f(x)=16xex，设原方程的一个特解为y*=x(Ax+B)ex，代入得 [Ax2+(4A+B)x+2A+2B]ex+2[Ax2+ (2A+B)x+B]ex