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二元函数插值： 设实值函数 f (x, y) 定义在矩形区域 D ={a ? x ? b, c ? y ? d }, 插值节点集: Z ={(xi, yj)| a ? x0 ? x1 ??? xn? b, c ? y0? y1??? ym? d }. 取在 Z 上线性无关的函数组 ??kr?x, y? | k=0,1, ?, n; r=0,1, ?, m?. 其中， ?kr?x, y? 是次数关于 x 不高于 n 次、 关于 y 不高于 m 次的二元多项式。 在函数空间 D ?Span??00, ?, ?0m, ?, ?n0, ?, ?nm ? 上寻找二元插值多项式 使其满足插值条件 此问题就是二元函数的代数插值问题。 如同一元的情况, 满足插值条件(5.11)的二元插值函数是唯一存在的。 Lagrange 插值曲面 取插值基函数 式(5.13)叫做 Lagrange 形式的插值曲面. 近似式 ?(x, y) ? pnm(x, y) (5.14) 叫做二元函数的Lagrange插值公式. 式 (5.14) 的余项 或 截断误差为 Rnm(x, y) ? ?(x, y) ? pnm(x, y) 例2 试利用f (x,y)的函数表 建立x为二次、y为一次的二元插值多项式p21(x,y)，用以计算f (0.3,0.8)的近似值。 数学符号 x0,x1, ?, xn, y0,y1, ?, ym, ??0?x?,?1?x?, ?, ?n?x?? k=0,1, ?, n ?(x, y) ? pnm(x, y) ??? ?? ? ?? ? ? ?????? ??? ??????? ΓΔΘΛΞΦΨΩ ????? ????? ????? ????? ????? ????? ????? ??????? ? ????? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ????????? ????? ????? ?????? ????????? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ * ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x y O 第一种（网格节点）： 5.1.2 二元函数插值 第二种（散乱节点）： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y x 0 注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最 简单的插值是分片线性插值。 最 邻 近 插 值 x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y (x1, y1) (x1, y2) (x2, y1) (x2, y2) O 二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻 近的节点的函数值即为所求。 分 片 线 性 插 值 x y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (xi, yj) (xi, yj+1) (xi+1, yj) (xi+1, yj+1) O 其中 这样的 ?kr?x, y? 满足 因此, ?kr?x, y? 在点集(xi, yj)上线性无关, 且易知, 满足插值条件(5.11) 的插值多项式为 证明Ⅰ：Rnm(x, y) ? ?(x, y) ? pnm(x, y) (5.15) (5.16) 证明Ⅱ：Rnm(x, y) ? ?(x, y) ? pnm(x, y) 1.73 0.87 0.43 1 1 0.5 0.25 0.5 1 0 -1 f x y 解：由n=2，m=1的二元插值多项式(5.13)可得