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依此类推 2.4.1 迭代法的一般形式及其收敛性 迭代法收敛的条件 注:要检验一个矩阵的谱半径小于1，比较困难，所以，我们希望用别的办法判断收敛性. 定理2.8* （迭代法收敛的充分条件） 若迭代法的迭代矩阵满足 || G || 1，那么， 迭代法收敛. Jacobi迭代法收敛的条件 由定理2.8, 有 定理2.10 Jacobi 迭代法收敛的充要条件是?(GJ) 1. 由定理2.9, 得到 定理2.11 若 || GJ || 1，则 Jacobi 迭代法收敛. 引理2.1 若 n 阶方阵 A 是主对角按行(或按列)严格占优 阵，则 A 非奇异。 证明 设 A 满足条件 定理2.12 若方程组 Ax=b 的系数阵 A 是主对角按行(或按列)严格占优阵，则用 Jacobi 迭代法求解必收敛。 证 若 A 是主对角按行(或按列)严格占优阵，则 D-1 = diag(aii-1) 存在。 假定 J-法不收敛，依定理2.8，迭代矩阵 GJ= - D-1( L + U )] 有一特征值 满足 |m|≥1，且有 det(m I - GJ) = 0 而 det(m I - GJ) = det(m I + D-1( L + U )] ) = det{mD-1[D+m-1 ( L + U )]} = mn ?detD-1 ? det [D+m-1 ( L + U )] (*) 由于 mn ? detD-1 ≠0，又因 |m-1|≤1 ，所以， 当 A 是按行严格占优阵时，有 即, 矩阵 D +m-1( L + U ) 是主对角按行(或按列)严格占优阵. 依引理2.1可知, det [D +m-1( L + U )] ≠0, 于是 从 式 (*) 可知 det(m I - GJ) ≠0。 矛盾说明 J 法必收敛。 det(m I -GJ) = det(m I + D-1( L + U )] ) = det{mD-1[D+m-1 ( L + U )]} = mn ?detD-1 ? det [D+m-1 ( L + U )] (*) 例6 证明：用 Jacobi 迭代法求解下方程组必收敛, 并求解, 要求 || xk- xk-1|| ∞≤10-5. 例7 证明： 用 J-迭代法求解下方程组不收敛. 例8 判别,下列方程组使用 J-迭代法求解是否收敛? Gauss - Seidel迭代法收敛的条件 定理2.13 GS 迭代法收敛的充要条件是 ? (GG) 1. 定理2.14 若 || GG || 1，则 GS 迭代法收敛。 定理2.15 若方程组 Ax=b 的系数阵 A 是主对角按行(或列)严格占优阵，则用 GS 迭代法求解必收敛。 定理2.16 若方程组 Ax=b 的系数阵 A 是正定矩阵，则用 GS 迭代法求解必收敛。 x1 =2.5000 2.0909 1.2273 d =3.4825 x2 =2.9773 2.0289 1.0041 d =0.5305 x3 =3.0098 1.9968 0.9959 d =0.0465 x4 =2.9998 1.9997 1.0002 d =0.0112 x5 =2.9998 2.0001 1.0001 d =3.9735e-004 x6 =3.0000 2.0000 1.0000 d =1.9555e-004 x7 =3.0000 2.0000 1.0000 d =1.1576e-005 ?值得注意 若把式(**)中两个方程交换位置： ?补例 判断用 Jacobi 迭代法和GS 迭代法求解方程组是否收敛，如果收敛，比较哪种方法收敛较快. 因而，aii≠0, i =1,2,…,n，D = diag(aii) 非奇异。令 A = D + L + U = D[ I + D-1( L + U )] = D(I- G) 其中， G = - D -1( L + U )] ，由 A 满足的条件可知 依定理1.5，知 I- G 非奇异，故 A 也非奇异。 当 A 是按列严格占优阵时，有 点击看式(*) 解 迭代矩阵为 -(L+U) D-1 因 ,故 J-迭代法收敛. 矩阵形式迭代公式为 分量形式的迭代公式为 计算结果,见P38 表2-1. 计算式 解 迭代矩阵为 其特征方程为 GJ 的特征值为因而, J-法不