非线性方程求根q.pptVIP

4.1.5 牛顿法 对于方程 f(x)，为了使用迭代法，应先改写成 x=g(x) 的形式，这个迭代函数 g(x) 可以有各种不同的形式，譬如，显然可令 g(x)=x+f(x)，这时，相应的迭代公式就是 xk+1=xk+f(xk) 但这种格式不一定收敛，或者收敛速度很慢。 加速公式： ? 牛顿公式的另一种形式：线性化 原理：将非线性方程线性化 —— Taylor 展开 ( Taylor’s expansion ) 取 x0 ? s，将 f (x) 在 x0 处做一阶Taylor展开: 例3 用牛顿法求方程 x -lnx = 2 在区间(2, ∞)内的根. 解: 在例1中,已经分析此方程在(2, ∞)内仅有一个根 s, 且 s 在 (2,4) 内. 因为, 在[2,4]内取初值 x0=4, 易知 f (x) 在[2,4]内满足定理4.7的条件.下面的牛顿迭代序列收敛于s. 4.1.6 求方程 m 重根的牛顿法 设 s 是 f (x) 的 m 重根, f (x)∈C m[s-?, s +?]， 则 f(s) = f (s) = ... = f (m-1)(s) = 0， f (m)(s) ? 0 由 Taylor 公式 由此知， f (x)=0 的 m 重根 s 是 x = g(x) 的根；又因 0 g (s) 1， 所以， 依定理4.3知，当 x0 充分靠近 s 时， 牛顿法产生的序列{ xk } 收敛于 s. 但仅有线性速度. 依定理4.3知, 下面变形的牛顿法产生的序列{ xk } 最少以二阶的速度收敛于 s. 4.1.7 割线法 (弦截法) 牛顿法的缺点: (1) 需要计算导数, 导数计算麻烦. (2) 导数计算必须精确, 否则, 误差很大. 在公式(4.7 )中, 用割线斜率替换导数, 得到 割线法迭代公式 : 引理4.1 设 f (s)=0, 又 f (x)∈C 2[s- ?, s+ ? ], 且在s 的此邻域内?(x) ? 0, 及 xk-1 , xk?[s- ?, s+ ? ]且 s, xk-1 , xk 互异, 记 ek = s - xk , 则有 定理4.8 设 f (s) = 0, 又 f (x)∈C 2[s-?, s+? ], 且在 s 的此邻域内 ??(x) ? 0, 则存在 s 的某个邻域 [s-ε, s+ε], 使当 x-1 , x0?[s-ε, s+ε]时, 由割线法(4.10) 产生的序列 { xk }收敛于 s , 且收敛速度的阶至少是 1.618 . 例4 用割线法求方程 x -lnx = 2 , 在区间(2, ∞)内的根. 解 使用下迭代公式， 4.1.8 单点割线法 在公式(4.10)中，用定点 (x0 , f (x0)) 替代动点 (xk-1 , f (xk-1))， 得到单点割线法迭代公式 定理4.9 设 f (x)∈C 2[a, b], 且满足 (1) f (a) f (b)0; (2) ??(x) 在区间[a,b]上不变号; (3) 当 x?[a,b]时, ??(x) ?0; (4) x1 , x0?[a,b] 且 f (x0) f (x1)0 , f (x0) ??(x0)0. 则单点割线法产生的序列{ xk } 单调收敛到 f (x) 在 [a, b] 的唯一根 s, 且是一阶收敛. 例5 用单点割线法求方程 x -lnx = 2 , 在区间 (2, ∞)内的根. 解 选取 x0 = 2, x1=4, f (x) = x -lnx -2 在区间[2,4]内满足 (1) f (2) f (4)0; (2) 在区间[2,4]上??(x)0; (3) 当 x?[2,4]时, ??(x) ?0; (4) f (4) ??(4) 0. 故单点割线法产生的序列{xk}收敛于 f (x) 的根s. 迭代结果如下： -0.003037617 3.141738781 2 0.000019723 3.146222134 3 -0.6×10-8 3.146193211 4 0.0 3.146193221 5 -0.057884104 3.060788438 1 0.613705638 4.000000000 0 -0.693147180 2.000000000 -1 f(xk) xk k 表4-5 例4计算结果 单点割线法仍然需要 2 个初值点 x0 , x1. x3