年上半年高等数学总复习.docVIP

高等数学(上)总复习 复习时, 首先应当进一步掌握各部分的基本内容, 做到明确概念, 清楚理解定理, 熟悉对应的题型, 并进行适当的总结归纳. 不过从考试出发, 可以有所侧重, 首先考试的题目注重基本概念和基本运算的考察, 不求题型的偏和难, 所以复习时紧扣课本内容和课后的习题.以下列出各部分基本内容和一些习题, 其中标有星号的部分是大家在复习时更要注意的.考试的具体题型可以参考去年期末试卷。注意，复习的目的是为了让大家进一步理解各部分要掌握的基本内容，进而对本册内容做系统的总结，并且熟悉各种基本的题型，而不仅仅是为了考试。 一 极限与连续 极限与连续部分基本内容和要求：1．函数的概念，函数的表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数及分段函数初等函数初等函数概念．理解极限的概念，函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．极限的性质及四则运算法则．极限存在的两个准则，利用两个重要极限求极限的方法．无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，用等价无穷小量求极限．函数连续性的（含左连续与右连续），判别函数间断点的类型连续函数的性质和初等函数的连续性．闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．型)*（此种形式都可以用取对数转化成型）; 等价无穷小代换*（自己整理各种无穷小的等价关系）； 洛比达法则*（不要一上来就用，先看看能不能先做一些变形）; 带佩亚诺型余项的泰勒公式; 定积分的定义（利用定积分的定义把和式转化为定积分）; 变上限积分函数求导*. 型未定式解题的三招*： a 等价无穷小代换; b洛比达法则; c 带佩亚诺型余项的泰勒公式. 习题: 求. 求. 求. 求. 求.　（对分母放缩后用夹挤准则） 设, , 证明数列收敛, 并求出极限.（单调收敛） 求. 求极限. 　　 求. 求. 因而　 故　 求. 由　 得　 求. , 求. 求 求. 　　　　　　　　　　　　　 确定常数a,b,c的值, 使. 因且为常数，故，可得．那么 同理，因c为常数，故，得，且 。 设函数连续，且求. 从而　 试确定常数的值, 使得 . 法一： 于是 得　 法二： 由题意，有，可得 于是 得　 关于连续性: 设, 求其间断点, 并判断其类型. 求的间断点，并判断其类型； 　　，易知是跳跃间断点，是可去间断点，是无穷间断点。　 设函数在处连续, 求a. 设函数有一阶连续导数, 存在, 且, 又函数 (I) 确定常数的值, 使处处连续; (II)若使连续, 进一步讨论的可微性以及的连续性. 解　(I)　要使处处连续，必有 　 （或　） (II) 当时，有　，故处处可微。 因为　 所以的处处连续。 设, 求的间断点。（分为和即可） 二 一元函数微分学 一元函数微分学基本内容和要求: 1.导数和微分的概，理解导数的几何意义物理; 2.导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数 3.高阶导数，会求简单函数的阶导数会求分段函数的一阶、二阶导数; .中值定理, 理解并会用罗尔、拉格朗日柯西中值定理泰勒定理.函数的极值单调性凹凸性，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用; 会用导数判断凹凸性拐点.函数图形，会求函数水平、铅直渐近线，会描绘函数的图形; 曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径, 求. 　　 求曲线上对应于的点处的法线方程. 设函数由方程确定, 求. 注：隐函数和参数方程确定函数的一阶和二阶导必须做的很熟练． 设, 求. 若在上连续, 在上可导, 证明, 使 . 证明若在上可导, 且, 则, 使 . 　　注：本题令　．要有效解决此类题目，需要我们归纳总结一些函数的导数形式（回顾习题课中的总结），使我们能够在看到所求问题时，知道可由什么样的函数求导得到． 设存在, 证明 . 证明, (). 令　，利用单调性易证。 证明若有,, 证明. 由函数的凹凸性易证。 已知, 求函数的单调区间和极值以及凹凸区间及拐点. 解　。 曲线的水平渐近线方程是什么?　（竖直渐近线呢？） 设函数由参数方程确定, 确定曲线向上凸的取值范围. 设函数由参数方程确定, 求. 在上应用拉格朗日中值定理有： 　　 对于函数，求极限. 解　（本题初看让人觉得很新奇，我们平时好像没有见过这种题目，但分析题目的条件，并不难解决。首先当时，也有，故所求的是未定式。其次可由确定，从而得到一个明确的极限运算） 应用拉格朗日中值定理有： 　， 得　　 从而　 设函数在上连续，在内二阶可导且存在相等的最大值，又，证明： （1）存在，使得； （2）存在，使得．　　 本题为2007年研究入