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钢管定购与运输 问题 要铺设一条 的输送天然气的 主管道, 如图一所示。经筛选后可以生产这种 主管道钢管的钢厂有 。图中粗线表 示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺 设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者 建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁 路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单 位km)。为方便计，1km主管道钢管称为1单 位钢管。 一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要 生产500个单位。钢厂 在指定期限内能生产 该钢管的最大数量为 个单位，钢管出厂销价 1单位钢管为 万元，如下表： 1单位钢管的铁路运价如下表： 1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。 公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部 分按整公里计算）。 钢管可由铁路公路运往铺设地点(不只是运到点 , 而是管道全线)。 （1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。 （2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。 （3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。 建模思路 (1)将A1到A15的5171公里分成5171段，每一段设置一个变量，取值为1到7，即供应钢管的钢厂的标号。显然从任何一个钢厂到铺设的任何一段的费用是固定的。从而可以求出最优解。 问题 1复杂度大，即使不考虑产量约束，也要考虑75171种情况，计算机无法计算出。 2钢厂是否一定按照整数产量供应？即使整数产量，铺设的也未必是两个整数之间。 (2)考虑到钢管运送到Aj之后再铺设时，已经与从何处运来没有关系，我们可以将任何一点Aj向左(右)铺设的钢管分成7段，即同一个钢厂的钢管合并为一个区间。这样，每个节点Aj对应7个区间,一共98个区间(A1不考虑)。如果将98个区间决定出来，生产和运输的方案也确定。据此可建立数学模型。 问题复杂度依然大，用计算机很难求解。 (3)根据上面的思路，钢管运送到Aj之后再铺设时，已经与从何处运来没有关系，可以将任何一个钢厂到节点的运输量作为变量，再设出节点向左右铺设的长度，总的方案即确定。据此可建立数学模型。 两部分费用： 一是将钢管由厂Si运到Aj,设Si到Aj的单位费用为qij ,运量为xij , 则总费用为 ,(xi1=0)。 二是到达Aj的钢管再由公路送到管线，设Aj向左 运yj公里，向右运zj公里，相应的费用为 模型 最小费用路径 要求出qij（单位钢管由Si生产并运至Aj的费 用），必须求最小费用路径。我们可以求出 铁路网任意两点的最短路，折算成公路，再 和公路网合并，即可求出最小费用路径。 下面的表给出qij的取值。 优化模型的求解 上面的优化模型形式复杂，较难求解。不过可以从以下几个方面把模型化为已知的优化问题： （1）设xij,yj,zj都是整数，目标函数就成为它们的二次函数。 可以发现，S1,S2,S3已经达到满负荷生产，S4产量为零，S5,S6为部分生产.唯一有问题的是S7的产量不符合约束条件。 （4）为满足原来的约束条件，我们只需将S7的约束分为两种情况求解。 若S7产量为零，则最优解对应的费用为1278631.55, (800, 800,1000, 0,1190.5,1380.5) 若S7产量在[500,3000]内，则最优解对应的费用为1279660.55。 因此，我们得出结论S7产量为零，而且可以写出最优解。 问题： 1我们是在存在最优整数解的假设下用计算机求出了最优解。然而得出的解不是整数,这是一个矛盾。能否证明最优解中必存在整数解？并进而在此条件下给出一个最优解？ 2能否证明最优解中S4与S7的产量为零，以及前三个钢厂的产量达到满负荷？ 3能否求出精确的最优解？如果用计算机求解得到的精度不高，会给灵敏度分析带来困难。 最优解中必存在整数解(证明思路) 考虑98个区间的模型。我们来说明存在98个 区间的端点均为整数的最优解。否则，假设 与非整数区间对应的钢厂均已达到产量的上 限或下限(如果有区间对应钢厂的产量未达 限，证明稍简单)。考虑将某一非整区间对应 钢厂 在其端点x12附近交给产量Δ给相邻区 间对应钢厂 ，费用增量为 ，(注意Δ可取得小一些，保证在x12附近这两 个钢厂的单价均不发生变化)。钢厂 必然还 对应另外的非整区间，将 的