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《过程控制系统》 华东理工大学 孙自强 2008年2月 第2章工业过程数学模型 过程特性的数学描述称为过程的数学模型。 在控制系统的分析和设计中，过程的数学模型是极为重要的基础资料。 过程的特性可从稳态和动态两方面来考察，前者指的是过程在输入和输出变量达到平稳状态下的行为，后者指的是输出变量和状态变量在输入影响下的变化过程的情况。可以认为，动态特性是在稳态特性基础上的发展，稳态特性是动态特性达到平稳状态的特例。 2.1工业过程稳态数学模型 从生产控制的角度来看，在被控变量与操纵变量的选择、检测点位置的选择、控制算法设计、操作优化控制的设计等方面，无不需要稳态数学模型的知识。 在不少情况下，必须同时掌握过程的动态特性，需要把稳态和动态的考虑结合起来，然而，象操作优化这样一个极富有经济价值的控制命题，主要就依靠稳态数学模型。 模型的建立途径可分机理建模与实验测试两大类，也可将两者结合起来。 2.1.1机理建模 从机理出发，也就是从过程内在的物理和化学规律出发，建立稳态数学模型 最常用的是解析法和仿真方法 解析法适用于原始方程比较简单的场合。这里又分两类: 一是求输入变量作小范围变化的影响，通常采用增量化处理方法； 二是求输入变量作大范围变化时的影响，这通常需要逐步求解，如采用数值方法或试差方法，则与仿真求解无甚区别了。 2.1.1机理建模（续） 现以两侧流体都不起相变化的换热器（见图2-1）作为例子，讨论输入变量作小范围变化的情况。 2.1.1机理建模（续） 原始的基本方程式是热量平衡式（热损失忽略不计）和传热速率式，分别是： Q=G1C1(θ1o-θ1i) =G2C2(θ2i-θ2o) （2-1） Q=KF(θ2i+θ2o-θ1i -θ1o)/2 （2-2） （为了简化，采用算术平均值） 式中Q为单位时间传热量，K为传热系数，F为传热面积，G1和G2是流体1和2的质量流量，C1和C2为相应的热容，θ为温度，下标1、2表示流体1和2，i和o表示流入和流出。 这里有四个输入变量，即G1、G2、θ1i和θ2i，两个输出变量，即θ1o和θ2o。如果θ1o是被控温度，是需要研究的输出变量，则为了考察各个输入变量对它的影响，须把式（2-1）和（2-2）联立求解，为此，须把另一个输出变量θ2o消去。在本例中没有什么中间变量，如有的话，也须消去。 2.1.2经验模型 通过测试或依据积累的操作数据，用数学方法回归，得出经验模型。 经验模型的建立通常要经过下列步骤： 确定输入变量与输出变量。输入变量是经验方程式中的自变量，输出变量是因变量。自变量的数目不宜太多。 进行测试。理论上有很多实验设计方法，如正交设计等。在实施上可能会遇到选取变化区域困难。有一种解决办法是吸收调优操作的经验，即逐步向更好的操作点移动，这样有可能一举两得，既扩大了测试的区间，又改进了工艺操作。测试中要确定稳态是否真正建立 。 把数据进行回归分析或神经网络建模。 检验。分为自身与交叉检验。 2.1.3 机理与经验的组合建模 (1)主体上是按照机理方程建模，但对其中的部分参数通过实测得到。例如，换热器的K值可通过现场操作数据计算求出；精馏塔的情况，塔板效率可先作假定，用以计算出各塔板的温度分布，再与温度的实测值核对，如有不符，则对塔板效率的假定值作相应的修正。 (2)通过机理分析，把自变量适当组合，得出数学模型的函数形式。这样确定模型结构，估计参数就比较容易了，并使自变量数减少。 (3)由机理出发，通过计算或仿真，得到大量的输入输出数据，再用回归方法得出简化模型。 2.2工业过程动态数学模型概论 过程的动态数学模型，对控制系统的设计和分析有着极为重要的意义。 求取过程动态数学模型有两类途径： 一是依据过程内在机理来推导，这就是过程动态学的方法； 二是依据外部输入输出数据来求取，这就是过程辨识和参数估计的方法。 当然，也可以把两者结合起来。 2.2.1 动态数学模型的作用和要求 过程的动态数学模型，是表示输出向量（或变量）与输入向量（或变量）间动态关系的数学描述。从控制系统的角度来看，操纵变量和扰动变量都属于输入变量，被控变量属于输出变量。 过程动态数学模型的用途大体可分为两个方面： 一是用于各类自动控制系统的分析和设计； 二是用于工艺设计以及操作条件的分析和确定。 表2-1 动态数学模型的应用和要求 2.2.2 动态数学模型的类型 以单输入-单输出为例，最常用的是线性时间连续模型和线性时间离散模型 （1）线性时间连续模型可写成微分方程或传递函数形式 any(n)(t)+ ……+a1y1(t)+y(t)=bmu(m) (t-τ)+ ……+b1u，(t-τ)+b0u(t-τ) （2-5） 或