简介 中值定理 洛必达法则.pptVIP

微积分 这一章讨论导数(包括偏导数)的应用。主要分三个方面考 虑： ①理论方面，得到几个中值定理，它们是导数应用的理论 基础； ②L’Hospital法则，它是计算极限的非常有效的方法； ③函数性质的研究，包括函数的单调性与极值(最值)、凹 凸性与拐点，最后综合考虑(包括渐近线)函数性质画出函数图 像。 §4.1最优选择简介 最优选择问题即最值问题。 就经济方面来说，人们总是希望用最小的成本获得最大 的利润。为此，我们需要制订价格以达到最大的销售量。那 么，我们怎样才能取到这些最值呢？从数学上说，这就是求 函数的最大值、最小值问题，即最优化问题。 导数发展的起源问题之一就是求最值问题。当微积分发 展起来以后，求最值问题一般都是通过求导运算进行的。这 一章将详细讨论最值的求法以及相关的单调、凹凸等问题。 * * §4.2微分中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，由最值定理得， f(x) 在闭区间[a,b]上有最大值、最小值。为求最值，下面由简单 一些的函数开始讨论。 可以看出，若f(x)在开区间(a,b)内可导，则在最大值与最 小值处的切线的斜率为零。 为保证最值在(a,b)内 取到，设f(a)=f(b)，所 以有下面的定理。 一、Rolle定理 * * 定理 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可 导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈ (a,b)，使 x O y C x A B a b y=f(x) 证 * * 此定理有三个条件：①闭区间上连续；②开区间内可 导；③两端点的函数值相等。三个条件缺一不可。 结论只有一个：有一个ξ∈(a,b)，使f (ξ)=0，至于这个 ξ等于什么，从定理中看不出来，这一点和闭区间上连续函 数的最值定理类似。 x O y A B f(x) 不满足条件① a b x O y A B f(x) 不满足条件③ a b x O y A B f(x) 不满足条件② a b c 应用 对某些方程，有时可用Rolle定理确定解的个数，讨 论时一般要用到反证法。 例1 证明方程xn+xn-1+…+x=1在(0,1)中有唯一实根(n1)。 证明 记f(x)=xn+xn-1+…+x-1 ，则 f ′(x)=nxn-1+(n-1)xn-2+…+1 。 由f(0)= -10 ， f(1)= n-10 ； f(x)在[0,1]连续，由零值定理得xn+xn-1+…+x=1在(0,1)内至少有一个根。 假设方程xn+xn-1+…+x=1 在(0,1)内的解不止一个，设其中 的两个解为x1、x2。则f(x)在[x1 , x2 ]连续，在(x1,x2)内可导，且 f(x1)= f(x2)。由Rolle定理知存在ξ∈ (x1,x2)，使f ′(ξ)=0，即 nξn-1+(n-1)ξn-2+…+1=0 而ξ x10，矛盾。因此原方程在(0,1)中有唯一实根。 例2 证 由零值定理, 即为方程的小于1的正实根. 矛盾, Rolle定理是导数应用的理论基础，当定理中的f(x)写成 不同的表达式时可能出现不同的定理形式，即得到新的中值 定理。下面讨论两个应用广泛的中值定理——Lagrange中值 定理和Cauchy中值定理。 利用Rolle定理证明其他形式的中值定理的一般思路是： 根据中值定理的结果构造一个函数，使之符合Rolle定理的条 件。大家要注意在证明Lagrange中值定理和Cauchy中值定 理时这种思路的应用，并学会应用它证明其他的中值定理。 * * 二、Lagrange定理 定理(微分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导， C2 h x O y A B a b y=f(x) C1 x 分析证明 称为Lagrange中值公式或有限增量公式。根据需要可写成： 推论1 例1 证明 证明 记F(x)=arcsinx+arccosx，则F′(x)=0。因此F(x)=C， x∈[-1,1] 。又F(0)=π/2，则 推论2 若任意x∈I ， f′(x)≡g′ (x)，则f(x)=g(x)+C x∈I 可以验证F(x)满 足Ro