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金融风险理论与模型 第3章 衍生金融工具的风险分析（1） 3.1 远期与期货的定价 一个农民想把他的牛卖掉，若t时刻牛价格为St，如果他签订一个在T （Tt）时刻卖牛的期货合同，在t时刻这个牛期货应该如何定价？若不计其他因素 定理3.1（现货-期货平价定理）：假设期货的到期时间为T，现货价格为S0，则远期价格F0满足F0=S0erT。 证明：（反证法）我们可以采用套利定价的方法来证明上述结论。 假设F0S0erT ，考虑下述投资策略： 投资者在当前（0时刻）借款S0用于买进一个单位的标的资产（long position）， 借款期限为T，同时卖出一个单位的远期合约(short position)，价格为F0。 在远期合约到期时（T时刻），投资者用持有的标的资产进行远期交割结算，因此获得F0，偿还借款本息需要支出S0erT。 因此，在远期合约到期时，他的投资组合的净收入为F0-S0erT ，而他的初始投入为0，这是一个无风险的套利。 反之，若F0S0e rT，即远期价格小于现货价格的终值，则套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产S0，将所得收入以无风险利率进行投资，期限为T，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价为F0。在T时刻，套利者收到投资本息S0erT，并以F0现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现S0erT-F0的利润。 上述两种情况与市场上不存在套利机会的假设矛盾，故假设不成立，则F0=S0erT。证毕。 如果这只牛在10天后交割，而这只牛在此期间会产下一头小牛，假定这只小牛的现值为I，那牛的远期价格该是多少？ 如果远期的标的资产提供确定的红利。假设红利是连续支付的，红利率为q。由于具有红利率q，该资产的价格才为S0。若没有这个红利存在，则该资产的价格为 两个推论（可生息资产的远期价格） 以上证明的是标的资产本身不带来利息的远期价格。如小麦远期。但是，对于持有期间可以生息的资产，则需要对公式进行调整，如债券远期。 标的资产在远期合约到期前获得收益的现值为I，则 证明：从单利到复利 如果远期的标的资产提供确定的红利。假设红利是连续支付的，红利率为q。由于具有红利率q，该资产的价格才为St，它等价于价格为 敏感性分析 例3.1 假设2年期即期年利率（连续复利，下同）为10.5%，3年期即期年利率为11％，本金为100万美元的2年×3年远期利率协议的合同利率为11％，请问 理论上,远期利率应为多少？该协议利率合理吗？ 该远期利率协议的价值是多少？ 3.2 期货合约——远期的组合 三个制度性特征：逐日盯市、保证金要求、期货清算所，逐日盯市将履约期限缩短为1天。 若7月1日购买了1份83天的期货合约，当日期货价格为0.61美元，次日为0.615美元。这等价于 7月1日购买了一份期限为83天的远期合约，其交割价格为0.61美元 7月2日远期合约以0.615美元被清算，并被一份期限为82天，交割价格为0.615美元的新的远期合约所代替。 思考：远期能否看成是期货的组合？ 讨论：期货与远期的差异 假定一个5000蒲式耳小麦期货和远期只有3日期限，多方损益 讨论：期货与远期的差异 如果利率固定，则期货合约和远期合约等价。（CIR定理） 如果利率浮动，则期货与远期可能不等价。 考虑例子中，2日的利息远高于3日，结果如何？ 一般来说，远期与期货存在一定的差异： 如果期货和远期的到期时间只有几个月，那么，在大多数情况下，二者价格的差异常常小到可以忽略不计。 随着到期时间的延长，二者价格的差异可能变得比较显著。 若标的资产价格与利率正相关，则期货合约价值高于远期，反之则反 利率上升→标的资产价格上升→多头获利实现（盯市）→再投资收益增加 利率下降→标的资产价格下降→期货多头亏损→以低成本融资 CIR定理：期货与远期等价 CIR定理： 如果利率固定（Constant），那么远期价格与期货价格相同。 证明的思路：期货是一连串不断更新的远期。根据无套利定价的原理，可以让远期和期货相互复制。 CIR的思路：以期货组合复制远期，由远期推断期货。 远期：到期日结算（中间没有现金流） 期货：每日结算（每日都有现金流） 证明：（by Cox，Ingersoll，Ross） 假设期货合约的有效期为n天，用Fi表示第天i末（0in-1）的期货价格，δ表示每天的无风险利率（常数）。不计交易费用，考虑下述投资策略 第0天末（即合约开始的时候）持有eδ单位的期货多头 第1天末把头寸增加到e2δ 第2天末把头寸增加到e3δ 第n-1天末把头寸增加到enδ 也可以作如下分析： （1）在第0天末（第1天初）买进eδ单位的期货 （2）在第1天末（第2天初）把头寸增加到e2δ，结清上一日的eδ单位 （3）在第2天末（第3天初）把头寸增