矩阵的特征值和特征向量 2.pptVIP

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2017-09-08 发布于上海
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矩阵的特征值和特征向量 2.ppt

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矩阵的特征值和特征向量 2

第4.2节矩阵的特征值 * 物理学的很多问题最后往往归结为求本征值问题,比如求解定态薛定谔方程.就是求解相应的特征值和特征向量. 哈密顿算符H可用矩阵表示为第4.2节矩阵的特征值其中Hij是哈密顿量在某一表象中的矩阵元素. 若矩阵是对角的,Hij正好是这个算符的本征值. 假如是非对角的, Hij对于归一化的态就是算符的期待值,而非对角元素与两个态间的跃迁几率有关. 波函数和E分别被表示为列矩阵和单位矩阵第4.2节矩阵的特征值这样薛定谔方程可写为: 要使方程组有非零解的条件是系数行列式等于零,即第4.2节矩阵的特征值根据线性代数的知识,若存在可逆矩阵X,使得: B=X-1AX 则称A和B相似. 而相似矩阵具有相同的特征多项式和特征值. 若A是一个n阶实对称矩阵,则X是一个n阶正交矩阵U. 所以我们只需要找到一个n阶正交矩阵U,使得U-1AU是一个对角矩阵,那么这个对角矩阵的诸元素就是要求的本征值. 这个过程称为矩阵的对角化. 雅可比(Jacobi)方法可以帮助我们寻找U矩阵. 第4.3节雅可比方法雅可比(Jacobi)方法的步骤是用一系列的简单正交矩阵Uk,逐步将A化成对角矩阵: 当K趋于无穷时,Ak成为对角矩阵.事实上,变换的次数不可能是无穷,但有限次的变换可以使非对角元素变得很小。这时对角元素是本征值的近似值。第4.3节雅可比方法举例说明，如何通过旋转矩阵变换，化对角矩阵。设选取矩阵不难证明VVT＝VTV＝I。所以V是正交矩阵第4.3节雅可比方法其中：要使非对角元素为零，只需一般情况。设矩阵A的对角线以外元素中aij的绝对值最大且不为零（否则就已经对角化了） i列 j列第4.3节雅可比方法第4.3节雅可比方法第4.3节雅可比方法同样，取就可使这样，可把此过程一直进行下去，直到达到所要求的精度为止。