原子物理与量子力学》 第九章习题课.pptVIP

HUST APPLIED PHYSICS |cn|2是在?态中测得力学量为λn的几率，|cλ|2dλ是在?态中测得力学量在λ→λ+dλ范围内的几率。 归一化公式的等价性： 若能归一化到１（束缚态）： 若完全系为混合谱的本征态则（略去时间t）： 若不能归一化到１（对特定的混合态）： 归一化公式可写为： 根据?函数性质： 对一般的混合态 可采用如下归一化方法： 平均值公式： 也可使用公式： 3.算符对易 对易关系满足如下公式： 1) [?, ?] = 0 2) [?,C] = 0 （这里C为常数） 3) [?,?] = - [?,?] 4) [?,?+ê] = [?,? ] + [?, ê] 5) [?,?ê] = ?[?,ê] + [?,?]ê; [?ê,?] = ?[ê, ?] + [?, ?]ê 6) [?,[?,ê]] + [?,[ê, ?]] + [ê,[ ?,?]] = 0 升降算符 定理：一组力学量算符具有共同完全本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。而在共同本征函数所描述的态中，这些力学量同时有确定值。 由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可向它展开。 4.测不准关系 另外有： * * 一 力学量算符 1 证明下列等式 （1） （2） 提示 2 证明（练习） 3 求 (1) 代入(1)式有 可得结论 同理有 5.1 证明 证明 用数学归纳法 5 5.2 证明(练习) 5.3 定义：算符导数 对某一参数 ? 定义： 5.4 求算符导数 已知 求 利用 5.5 证明Clauber定理 证明 令： 则有： 求导 利用 推出： 得： 5.6 证明(练习)* 提示：对左端进行Taylor展开 证明一 以一维为例 束缚态波函数可归一化到1，且可取实函数。因此，波函数在坐标趋于无穷时趋于零。 二 力学量平均值 1. 证明 在束缚态下动量的平均值为零 证明二 其中 动量算符取值在p~p+dp内的几率为 动量算符取值在-p~-p-dp内的几率为 并且 由此推知动量取正负值的几率相同(被积函数为奇函数)，因此平均值为0 2. 证明Feynman-Hellmann（F-H）定理 设体系的 Hamilton 量 中含有某参量λ，En 是 的本征值， 是归一的束缚态本征函数（n 为一组量子数），则 证 对En 求导数有： 2. 1求在一维谐振子本征态上势能的平均值 [证毕] 3. ?函数性质 1. 2. 3. 4. 5. 6. 4. 已知在对称有限深方势阱中某一本征态为 其中 求粒子对阱壁的平均力，在无限深势阱中结果如何？ 可将势阱表示为： 此题还可用虚功原理求得 对一侧阱壁的力 三 . S 方程，展开假定 定理1 在S方程中，当 趋于无穷时，若势 下有界且趋于正无穷，则体系能级只有分立谱， 且基态为非简并态。 定理2 在S方程中，势 存在上界且当 趋于无穷时，势 趋于一常数或负无穷，则体系能级必存在连续谱（同时可能还有分立谱）。 1. 粒子在?势阱中运动，求偶宇称态以及其本征能量 S方程为 由于出现?函数，波函数连续性条件被弱化 对上式积分有： 衔接公式为： 令 在 x ? 0 处 在 x? ?? 处,?? 0,束缚态波函数解为 因此偶宇称态解为: 代入衔接条件得到： 对波函数归一化得到： 思考：奇宇称态是否存在？ 因此： 2. 粒子处在如下态上，求动量的取值及其几率 其中 (1) 显然没有归一化，先进行展开（A为归一化系数）： 即： 可知 归一化后为： 再利用归一化公式： (2) 归一化后波函数为： (3) 动量取所有值的几率相同，此时取值几率的大小已经没有意义，仅需考虑相对几率。 量子力学阶段性总结 量子力学中的力学量由算符来表示。 力学量算符应为线性厄密算符。 1.力学量算符 厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交。 当体系处于?的本征态Ψ时，力学量?取确定值，该值就是算符?在本征态Ψ中的本征值。所有本征值构成本征值谱，本征值谱为该力学量的所有可能测量值。 ?的本征值方程为 定态S方程为: 属于力学量算符? 的本征方程（特殊情况） 一维无限深势阱 一维谐振子 三维氢原子 厄密算符本征函数总可以取为正交归一化的，即组成正交归一系。并且组成完全系（完备系）。 3). 正交归一系 满足上述正交归一化条件的函数系φn 或φλ ，就称为正交归一（函数）系。 1). 分立谱正交归一条件为： 2). 连续谱正交归一条件为： 2.展开假定与取值几率 某力学量的本征态φn或φλ 组成完全系，所以体系任一状态?可向其展开： 若完全系为连续谱的本征态则： 特别，若在 ? 的本征态上展开有：