微分 多元函数知识.pptVIP

微积分 三、平面区域 在讨论一元函数时, 常用邻域和区间的概念. 本章讨论 多元函数时, 也要用到邻域和区域的概念. 故下面将一元函 数的邻域和区间的概念加以推广. 1、邻域 定义 称区域{(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2δ2}为P(x0,y0)的δ邻 域，记为Dδ(P0) 。 称区域 {(x,y)|0(x-x0)2+(y-y0)2δ2} 为P(x0,y0)的δ去心邻域， 记为 2、开集、闭集 定义 内 点。 P0为D的边界点。 外点。 若D中任一点均为其内点，则称D为开集。若D所有的 边界点都在D中，则称D为闭集。如{(x,y)|x2+y24}为开集， {(x,y):|x+y|≥1}为闭集。而{(x,y)|1x2+y2≤4}既非开集，又 非闭集。 D的所有内(外)点构成的集合称为D的内(外)部，所有边 界点构成的集合称为D的边界。 定义 设D为平面点集，若对任意P1、P2∈D，在D内存 在折线段连接P1、P2，则称D为连通区域，简称区域。若区 域同时又是开集，则称其为开区域；若区域是闭集，则称之 为闭区域。 D为有界区域，否则称D为 无界区域。 例如，{(x,y)|1≤x2+y2≤4}是 有界闭区域。 {(x,y)|xy1,x0,y0}是 无界开区域。 {(x,y)|x2-y21}是 非连通点集。 §3.5 微分与近似计算 一、微分的概念 研究函数常常需要求出某些自变量对应的函数值。但即使 是一般的初等函数，求函数值很难：求出精确的的函数值一般 是不可能的(常见的函数大多是无理数)，这时我们一般求出(某 种精确度下的)近似值。 求近似值，最简单的想法是利用变量的改变量，比如要求 函数值f(x1)，先找到x1临近的x0，保证f(x0)很容易可以求出，然 后求Δy=y1-y0=f(x1)-f(x0)的近似值。如：要求y=ln1.01，易知 ln1=0，因此关键是求出Δy =ln1.01-ln1。 下面以正方形的面积为例，具体讨论如何计算因变量的改 变量的近似值。 对函数y=f(x)=x2：其中x表示 正方形的边长， y表示正方形的面 积。假设对x=x0，y0=f(x0)已求出， 为求y1=f(x1)，则需求Δy。 可见Δy包含两部分，其中第一部分是我们可以用来近似 代替Δy的，为此需要讨论如何计算。为方便先给出定义。 定义 其中A为与Δx无关的常数，则称f(x)在x0可微，AΔx为y=f(x)在 x0处的微分，记为 dy称为Δy的线性主部。 不能写成(*)式时，称y=f(x)在x0不可微或微分不存在。 注 ①由于dx=Δx，故一般记dy=Adx； ②A与Δx无关，但与x、f(x)有关； ③当A≠0时，dy与Δy等价：dy~Δy，Δx→0。 ④导数是一个(函)数，微分是因变量的改变量的近似 值。 定理 由此可知，导数可看作dy与dx的商，因此也称微商。 例 解 微分是为近似计算Δy而引入的，为计算出Δy，我们需要 给出利用f(x)和Δx计算微分的方法，对此有如下定理。 二、微分的几何意义 M N T ） P 三、微分基本公式与微分的运算法则 由上面的定理可知，微分的计算实质上就是导数的计算 。因此关于基本初等函数的微分公式和运算法则都可以由导 数的相应结果直接对应写出。 1、微分公式 由导数的基本公式易得微分的基本公式(见课本101-102 页)，只要熟记了导数的相关公式，相信很容易记住这些公式 (即使没有特意对微分公式记忆，也可直接由dy=y′dx推出)。 例 2、微分的运算法则 由导数的四则运算法则容易得到： 定理 若函数u(x)、v(x)都可微，则 进行微分计算时，可以先求出导数再写成微分的形式。但 大家应尽量适应用微分的形式直接计算，这对以后的学习会有 帮助。 练习 答案 解 3、微分的形式不变性 也就是说，无论y写成u、x、t哪一个变量的函数，y的微分都等 对这个变量的导数乘以这个变量的微分。 把导数复合运算法则对应到微分中：设由y=f(u)，u=g(x) 复合函数的微分法则 例 解 练习 答案 例 解 对题中方程两边求微分得 可直接对方程两边进行微分计算。利用微分的运算法则 得到含有x、y、dx和dy的等式(这时认为x与y的地位是“平等的”)，最后解出dy即可。 整理得 隐