《几何原本》。 - 西北师范大学.ppt

第4讲 几何原本 一、欧几里得生平简介 欧几里得（Euclid，约公元前330-前275）,生于雅典，古希腊数学家。 是亚历山大前期古希腊数学标志性人物。 开创欧氏几何学，被誉为几何之父。 在亚历山大从事教学工作 无王者之道 学了能获得什么 最有影响的著作：《几何原本》 在数学、天文、光学和音乐方面均有研究。 现存著作有《几何原本》、《数据》、《论剖分》等。 1607年，我国明代学者徐光启和意大利传教士利玛窦合译前6卷，把中文译本定名为《几何原本》。 1857年，英国数学家伟烈亚力和清代学者李善兰接着合译完后9卷（据15卷本）。 二、《几何原本》的内容 《几何原本》 （Elements）内容概况 共有13卷， 5条公设，5条公理、119个定义，465条命题。 内容涉及平面几何、数论、立体几何等。 第Ⅰ卷中的23个定义 Ⅰ.1 点：没有部分的东西 Ⅰ.2 线：只有长度而没有宽度 Ⅰ.5 面：只有长度和宽度 … Ⅰ.23 平行直线：在同一平面内向两端无限延长不能相交的直线 五条公设 1、两点确定一条直线。 2、直线可以向两边任意延长。 3、以任意一点为圆心，任意长为半径可以画圆。 4、所有直角皆相等。 5、同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两内角之和小于180°，则这两直线延长后必交于该侧一点。 五条公理 1、等于同量的量彼此相等。 2、等量加等量，其和仍相等。 3、等量减等量，其差仍相等。 4、彼此能重合的物体是全等的。 5、整体大于部分。 例：命题Ⅰ.47 毕达哥拉斯定理（勾股定理） 勾股定理的其他证明 欧几里得的贡献 《几何原本》中的命题大部分并不是欧几里得原创性结果。 他的天才表现在公设、公理的选取。 他的贡献在于：把以前零散的、孤立的，不系统的知识组织起来，使其成为了一个有机的系统。 他让几何真正成为了一门有着严密的理论体系和科学方法的学科。 三、 对《几何原本》的评价 1、爱因斯坦 “世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，它如此精密地一步一步推进，以致它的每一个命题都是不容置疑的——我这里说的是欧几里得几何学，这种推理上令人惊叹的胜利，使人类有了为取得以后成就所必须的信心。” 2、林肯 “最后我对自己说，林肯，如果你始终搞不懂‘论证’是什么，就别当律师了。于是我暂时放下工作，回到家中，直到我能够将身边欧几里得六卷中的命题都做出来，我才继续回去研究法律。” 3、徐光启 “此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试，不必改； “此书为益能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学。” （二）数学史上第一座理论丰碑 ——确立了数学的基本方法学 孕育了一种数学精神 ——理性精神 给出了一种数学方法 ——公理化方法 （三）照亮了人类文明的每个角落 ——为人类整理和系统阐述知识提供了一种模式 定义、运动的公理或定律 第一编：物体的运动 第二编：物体（在阻滞介质中）的运动 第三编：宇宙体系 （四）《几何原本》的缺陷 定义借助直观或含糊不清； 公理系统不完备，有些公理不独立； 方法是纯粹演绎性质的，没有任何可以验证基本假设的方法。 四、 数学教育视野中的《几何原本》 （一）“欧氏几何”的功与过 1、教育价值得到公认 2000余年来，所有初等几何研究的书籍都以《几何原本》为依据。 世界各国的中学数学教科书都以《几何原本》为蓝本。 欧氏几何是培养学生逻辑思维的最好素材。 2、反对声此起彼伏 数学教育应从《几何原本》的包围中解放出来！ ——20世纪初，英国数学家贝利 “欧几里得滚蛋！” ——20世纪60年代，美国“新数运动” 欧氏几何如钟摆，出出进进。 3、再次体验“欧氏几何” 求证：三角形的内角和是180° 证明（一） 证明（二） 证明（三） 证明（四） 证明（五） 4、 学习“欧氏几何”的困难 欧氏几何的逻辑结构是串联型而不是放射型的，《几何原本》的每一节都那么重要，一节学不好，继续前进的路就断了。 欧氏几何没有提供一套强有力的、通用的解题方法。主要解题工具是三角形全等和相似，而许多几何图形中不包含全等或相似三角形，因此往往要作辅助线，这成为很多人的困难。 欧氏几何与其他数学内容匹配的不是很好。 5、一把双刃剑 一方面，许多奇妙多变的论证方式和赏心悦目的结论使一些学生从此喜欢数学，甚至走上终身从事数学研究的道路； 另一方面，过分复杂、抽象的、巧妙的过程，使得20%-30%的初中学生望而却步，从此厌恶数学、远离数学，