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第六章 假设检验与方差分析 第一节 假设检验的基本原理 一、什么是假设检验 先举一个例子 ： 例6-1：假定咖啡的分袋包装生产线的装袋重量服从正态分布N(μ,σ2)。生产线按每袋净重150克的技术标准控制操作。现从生产线抽取简单随机样本n=100袋，测得其平均重量为 =149.8克，样本标准差S=0.872克。问该生产线的装袋净重的期望值是否为150克（即问生产线是否处于控制状态）? 所谓假设检验，就是事先对总体的参数或总体分布形式做出一个假设，然后利用抽取的样本信息来判断这个假设（原假设）是否合理，即判断总体的真实情况与原假设是否存在显著的系统性差异，所以假设检验又被称为显著性检验。 一个完整的假设检验过程，包括以下几个步骤： （1）提出假设； （2）构造适当的检验统计量，并根据样本计 算统计量的具体数值； （3）规定显著性水平，建立检验规则； （4）做出判断。 二、原假设与备择假设 原假设一般用H0表示，通常是设定总体参数等于某值，或服从某个分布函数等；备择假设是与原假设互相排斥的假设，原假设与备择假设不可能同时成立。所谓假设检验问题实质上就是要判断H0是否正确，若拒绝原假设H0 ，则意味着接受备择假设H1 。 如在例6-1中，我们可以提出两个假设：假设平均袋装咖啡重量与所要控制的标准没有显著差异，记为H0:? = 150；假设平均袋装咖啡重量与所要控制的标准有显著差异，记为H1:? ? 150。 三、检验统计量 所谓检验统计量，就是根据所抽取的样本计算的用于检验原假设是否成立的随机变量。 检验统计量中应当含有所要检验的总体参数，以便在“总体参数等于某数值”的假定下研究样本统计量的观测结果。 检验统计量还应该在“H0成立”的前提下有已知的分布，从而便于计算出现某种特定的观测结果的概率。 例6-2 构造例6-1的检验统计量,并计算相应的样本观测值。 四、显著性水平、P-值与临界值 小概率事件在单独一次的试验中基本上不会发生，可以不予考虑。 在假设检验中，我们做出判断时所依据的逻辑是：如果在原假设正确的前提下，检验统计量的样本观测值的出现属于小概率事件，那么可以认为原假设不可信，从而否定它，转而接受备择假设。 至于小概率的标准是多大？这要根据实际问题而定。假设检验中，称这一标准为显著性水平，用来表示?，在应用中，通常取? =0.01， ? =0.05。一般来说，犯第一类错误可能造成的损失越大， ?的取值应当越小。 对假设检验问题做出判断可依据两种规则：一是P-值规则；二是临界值规则。 （一）P-值规则 所谓P-值，实际上是检验统计量超过(大于或小于)具体样本观测值的概率。如果P-值小于所给定的显著性水平，则认为原假设不太可能成立；如果P-值大于所给定的标准，则认为没有充分的证据否定原假设。 例6-3 假定? =0.05，根据例6-2的结果，计算该问题的P-值，并做出判断。 解：查标准正态概率表，当z=2.29时，阴影面积为0.9890，尾部面积为1–0.9890=0.011，由对称性可知，当z= –2.29时，左侧面积为0.011。 0.011≤?/2=0.025 0.011这个数字意味着，假若我们反复抽取n=100的样本，在100个样本中仅有可能出现一个使检验统计量等于或小于–2.29的样本。该事件发生的概率小于给定的显著性水平，所以，可以判断μ=150的假定是错误的，也就是说，根据观测的样本，有理由表明总体的?与150克的差异是显著存在的。 （二）临界值规则 假设检验中，还有另外一种做出结论的方法：根据所提出的显著性水平标准（它是概率密度曲线的尾部面积）查表得到相应的检验统计量的数值，称作临界值，直接用检验统计量的观测值与临界值作比较，观测值落在临界值所划定的尾部（称之为拒绝域）内，便拒绝原假设；观测值落在临界值所划定的尾部之外（称之为不能拒绝域）的范围内，则认为拒绝原假设的证据不足。这种做出检验结论的方法，我们称之为临界值规则。 显然，P-值规则和临界值规则是等价的。在做检验的时候，只用其中一个规则即可。 P-值规则较之临界值规则具有更明显的优点。这主要是：第一，它更加简捷；第二，在值规则的检验结论中，对于犯第一类错误的概率的表述更加精确。 推荐使用P-值规则。 例6-4 假定?=0.05，根据例6-2的结果，用临界值规则做出判断。 解：查表得到，临界值z0.025= –1.96。由于 z= –2.29 –1.96，即，检验统计量的观测值落在临界值所划定的左侧（即落在拒绝域），因而拒绝μ=150克的原假设。上面的检验结果意味着，由样本数据得到的观测值的差异提醒我们：装袋生产线的生产过程已经偏离了控制状态，正在向装袋重量低于技术标准的状态倾斜。