第10讲流体动力学基础质点导数和系统导数质量守恒与牛顿第二定律.ppt

方程组封闭 在解决实际问题时，除上述方程外，还应包括连续性方程。 四个方程四个未知数。 在数学上却遇到很大困难，主要是由于纳维-斯托克斯方程是二阶的非线性偏微分方程，只有在少数情况下才可以求得方程的解析解。 系统占有的空间在不断改变它的大小和形状 也随时间而变。 此积分对时间的导数 即为系统导数。 根据导数的定义，有 （a） （b） （c） 式（b）右端第一项可表示为 （b） 式（b）中第二项积分中的前一项可写为 （d） （b） 式（b）中第二项积分中的后一项可表示为 （e） （b） 将式（d）和式（e）合并，并注意到 ， 是整个控制体的面积，于是式（b）右端第二项成为 （f） 将式（c）和式（f）代入（b）中，得 这就是流体系统内物理量对时间的随体导数公式,也称为输运定理（或输运公式） 上式即是按拉格朗日法求系统内物理量的时间变化率转换为按欧拉法计算的公式。 系统内部物理量的时间变化率由两部分组成： 控制体内? 对时间的变化率； 单位时间内经过控制面? 的净通量。 第四节 流体运动的基本 物理定律及基本方程 一、连续性方程（质量守恒） 分析该微元六面体内 质量的变化。 ρ 速度分量为u、v、w 由表面ABCD流出的质量是 在dt 时间内在x方向净流入的质量为 同理，在 y 方向和 z 方向上 dt 时间通过相应表面净流入的质量分别为 dt 时间通过该微元六面体所有方向净流入的质量为 在dt 时间内，因控制体内密度变化引起的总质量的增加量为 根据质量守恒定律得 或 —微分形式的连续性方程 意义：表达了任何存在的流体流动必须满足的质量守恒条件 几种特殊情形下的简化形式 （1）定常流动，非稳态项为零，只剩： （2）不可压缩流体，密度随着时间和空间均不变化 在有限通道中作定常流动的情况，质量守恒可用简单的形式表达，而不必采用微分方程的形式。 流体做定常流动时，流场内的各物理量均不随时间改变，则1 断面上单位时间内流入的流体质量应等于2 断面流出的流体质量， 即 沿流道的上下游两个过流断面 若是不可压缩的均质流体，则连续性方程为： 二、运动微分方程（牛顿第二定律） 流体的运动与其所受外力之间的关系，应遵循动量守恒定律—牛顿第二定律。牛顿第二定律的数学表达式即为运动方程。 1、理想流体的运动微分方程 理想流体：流体的粘性被忽略不计流体。 在运动的理想流体中，取出一个微元平行六面体的微团，它的各边长度分别为dx、dy和dz，如图所示； 理想流体运动时不产生内摩擦力，所以作用在流体微团上的外力只有质量力和压强。 微分方程的导出 微元六面体内理想流体微团的受力（y方向） 假设六面体形心的坐标为x、y、z， 速度、压强分别为u、v、w、p， 单位质量力为 f . 先分析 y 方向的运动 左右两个平面中心点处的压强分别为 及 作用在流体微团上的质量力在 y 方向的分量 沿y方向牛顿第二定律的表达式为 将上式各项除以流体微团的质量 得到 y 方向的运动微分方程 类似地，在 x 和 z 两个方向上，分别有 —理想流体的运动微分方程 在一般情况下，作用在流体上的质量力fx、 fy 和 fz 是已知的，对理想不可压缩流体其密度ρ为一常数。在这种情况下，方程组中有四个未知数u、v、w和p，而方程仅有三个，为此需加上不可压缩流体的连续性方程，这样方程组封闭，从理论上提供了求解的可能性。 方程组的封闭性问题 2、实际流体的运动微分方程 实际流体运动时，作用于微元六面体各个面上的应力不仅有法向应力，还有由于粘性产生的切向应力。 根据牛顿第二定律，写出沿y方向的运动微分方程 化简后，得 y 方向的运动微分方程 同理可得 —以应力形式表示的粘性流体的运动微分方程 方程组不封闭 九个应力三个速度分量均未知，12个未知数 三个运动方程+1个连续性方程，4个方程 不封闭。 需要确定粘性流体中各应力与速度变形速率的关系 对于一般的流体，各应力与速度变形速率间的关系为： 对于一般的流体，各应力与速度变形速率间的关系为： 将应力关系式，代入其应力表示的运动微分方程中，化简得 —不可压缩粘性流体的运动微分方程，又称纳维-斯托克斯，简称N-S方程 * 流体动力学基础 * / 108 * 流体动力学基础 * / 108 * 流体动力学基础 * / 108 * 流体动力学基础 * / 108 * 流体动力学基础 * / 108 * 流体动力学基础 * / 108 * 流体动力学基础 * / 108 * 流体动力学基础 * / 108 * 流体动力学基础 * / 108 * 流体动力学基础 * / 108 * 流体动力学基