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2 多体系统动力学优化设计的混合罚函数法
基于二阶灵敏度分析的多体系统动力学优化设计
丁洁玉1,2 潘振宽1 陈立群 * 3,2
1. 青岛大学信息工程学院,青岛,260071 2. 上海市应用数学和力学研究所,上海大学,上海,200072 3. 上海大学力学系,上海,200444
djy@qdu.edu.cn zkpan@qdu.edu.cn *lqchen@staff.shu.edu.cn
摘要:收敛性较好的多体系统动力学优化设计方法需要计算目标函数关于设计灵敏度的导数,其中使用二阶导数可以提高优化设计的精确度。本文针对通用的积分形式的目标函数和多体系统动力学微分/代数方程数学模型,基于二阶灵敏度分析建立了多体系统动力学优化设计的混合罚函数法。其中灵敏度分析使用伴随变量方法,避免了复杂的状态设计灵敏度计算,在设计变量较多时具有较高的计算效率。
关键词:多体系统动力学,优化设计,灵敏度分析,罚函数法,伴随变量法
引言
多体系统动力学优化设计是经典力学与现代计算机应用技术相结合的产物,其基本思想是利用计算机现代技术解决复杂系统动力学的自动建模和数值分析问题。多体系统动力学优化设计与一般机械系统最优化具有类似形式,但其目标函数与约束方程包含状态变量,并且受系统动力学方程约束。目前多体系统动力学优化设计普遍采用序列二次规划(SQP)方法[1,2],即在优化迭代的每一步,将目标函数近似为标准的二次型,将约束函数近似为线性形式,但这需要确定约束有效集,不利于计算机实现。而罚函数法通过引入一系列惩罚因子将原约束优化问题转换为无约束优化问题,既可采用大量直接方法又可采用效率较高的间接方法求解,并具有较好的程式化实现。在采用收敛性较好的最优化设计数值方法时,需要计算目标函数及约束函数对设计变量的导数,通常可采用有限差分法[1,2]、直接微分法[,3]、伴随变量法[]。伴随变量方法通过引入多个伴随变量可以有效回避随着系统状态变量及设计参数的增多求解规模成倍增长问题,对设计变量较多的设计问题具有较高的效率,从而在多体系统优化设计中受到重视。美国Iowa大学的 Haug,Edward.J,他在文[]中提出了基于常微分方程的多体系统一阶灵敏度分析和二阶灵敏度分析的伴随变量方法,同时讨论了基于微分代数方程的一阶灵敏度分析。给出一般计算公式描述的多体系统,设计变量为,多体系统动力学微分/代数方程
其中是拉格朗日乘子列阵,是系统广义力列阵,约束方程的Jacobi矩阵行满秩。和终止时间依赖于,且由下式给定
(2)
且满足。系统还需满足如下初始条件
且满足和非奇异。
多体系统优化设计一般为约束最优化问题,其通用形式为
(4)
其中目标函数具有如下通用的积分形式
(5)
2 多体系统动力学优化设计的混合罚函数法
采用混合罚函数法求解多体系统动力学优化设计问题(5)时,可将约束优化问题转化为如下无约束优化问题
(6)
其中。
采用基于二阶导数的Newton-最速下降法求解上述无约束优化问题,可建立基于二阶灵敏度的多体系统动力学优化设计的混合罚函数法,其计算步骤如下:
1) 选择初始惩罚因子,,并规定允许误差;
2) 在可行域内选择一个严格满足不等式约束的初始点;
3) ,。
4) 若,则得到无约束最优化问题的解,转)。否则,解方程组
(7)
若方程组(7)有解且,则有哪些信誉好的足球投注网站方向。否则,最速下降方向,即。
,使是以下极小值问题的解
(8)
6) 令,,转3)。 ,若,则终止迭代,得解。否则转8)。
) 取,,转),通常取。或;步骤7)还可取或。
3 设计灵敏度分析
上述混合罚函数法中需要计算目标函数关于设计变量的一阶导数和二阶导数。将式(6)关于设计变量求导并对相关项进行分部积分可得
(9)
其中,。
式(9)中为当前未知量,若使用直接微分法求解这些值,需要计算大量微分/代数方程组,在此基础上计算目标函数关于设计变量的二阶导数更是复杂。下面采用伴随变量方法,通过引入并计算伴随变量避免上述值的直接计算。
引入伴随变量,得到若干恒等于零的式子,全部加到式(9)上不改变的值。从而可以取各伴随变量的值使得系数为零,此时式(9)变为
(10)
求解伴随变量方程可得各伴随变量的值,代入式(10)可以计算。并且在此基础上使用类似方法可方便地求得目标函数关于设计变量的二阶导数。
将式(10)关于设计变量求导并对相关项进行分部积分,然后引入新的伴随变量,,,,,,使用和一阶灵敏度类似的方法建立伴随变量方程并求解,可得如下简单形式
(11)
其中
(12)
(),符号~表示该变量在求偏导时做为固定值。将各伴随变量值代入式(11)可以得到目标函数关于设计变量的二阶导数。
4 数值算例
考虑图1所示的曲柄-滑块系统,该系统由匀质曲柄、连杆和理论滑块构成,曲柄
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