21导数的基本概念.docVIP

第二章 导数与微分 【教学目的、要求】 理解导数与微分的概念，理解导数的几何意义，并会求平面曲线的切线方程和法线方程 . 理解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性和连续性之间的关系 . 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式 . 掌握微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用 . 了解高阶导数的概念，掌握初等函数的求导方法．会求分段函数的一阶、二阶导数，并会求一些简单函数的 n 阶导数 . 求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数 . 【 1.直线运动的速度问题 如图，设动点于时刻的位置函数为求时刻的瞬时速度，取一邻近于时刻，运动时间，平均速度 当时，取极限得瞬时速度 2.切线问题 割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 设，割线MN的斜率为， ， 切线MT的斜率为 二、 导数的定义 1． 定义 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在刻邻域内），相应地函数y取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点的导数，记为，，即 导数定义其它常见形式； 2.单侧导数 左导数: 右导数： 判断函数在某一点可导的充分必要条件： 函数在点可导 例1： 讨论函数在处可导性 解：； ； 。 即函数在点不可导。 注意:点导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 3．导函数 1）如果函数在开区间I内的每个点处都可导，就称函数在开区间I内可导。 2）对于任一，都对应着的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数的导函数。 记作或， 即 很明显。 3）如果在开区间内可导，且及都存在，就说在闭区间上可导。 三、 由定义求导数举例 步骤：（1）求增量； （2）算比值； （3）求极限； 求函数（C为常数）的导数， 解：， 即。常数的导数是零。 求函数（n为正整数）的导数。 解： 即。 更一般地。（为常数） 例如： 若函数，求 解： 故 同样地， 求函数的导数。 解： 特别地， 求函数的导数。 ，特别地 四、 导数的几何意义 表示曲线在点处的切线率，即，（为倾角） 切线方程为： 法线方程为： 求曲线在点处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。 解：根据导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为， 即， 法线方程为， 即。 五、 可导与连续的关系 结论：可导的函数一定是连续的. 证明：设函数在点可导， 函数在点连续。 注意: 反之不成立.即连续不一定可导. 比如：函数在处连续但不可导 证明：　　　 ， ， 即， 函数在点不可导。 六、 小结与思考 1. 导数的概念与实质: 增量比的极限; ２.； 3. 由定义求导数. 4. 导数的几何意义: 5. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 判断题 1、初等函数在其定义区间内必可导. 2、初等函数的导数仍是初等函数. ３、曲线.在（）处有切线，则一定存在。 2.切线问题 切线：割线的极限