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§4－5 多項方程式 甲 . 方程式的解法 n次方程式： 若是次多項式( 即 ), 方程式 就稱為n次多項方程式, 簡稱n次方程式. 方程式的根： 一個數, 若滿足, 就叫做方程式的 ” 解 “或 “ 根 “. 該曲線( 直線 )和軸相交, 那麼交點的橫坐標必然滿足 (點的縱坐標為0 ), 故是方程式的一個實根. 如果該曲線( 直線 )方程式和軸不相交, 此時, 任何實數都不能滿足 , 即方程式沒有實根. 方程式的解法： 二次方程式的解法： 實係數二次方程式的公式解為. 令? (i) 時, 有兩個相異實根. (ii) 時, 有兩個相等實根. (iii) 時, 有兩個共軛虛根. 有理根檢驗法： 設= 0, 為一整係數n次方程式, 若有理數為之一根( 與互質之整數 ), 則. 代換法： 設代入, (i) 函數高次時： ex：令. (ii) 倒數方程式：之方程式= 0, , …..以此類推. ex： , 令. 因式分解： 利用” 有理根的檢定 ”與” 綜合除法 ”處理之. 因式分解法 例1. 解方程式可得實根為 , 虛根為 . (3, 6, 類題. 解下列方程式： . . 有理根檢驗法 例2. 求方程式之各根. 類題. (1) 解方程式. (2) 利用有理根檢驗法, 試求方程式的所有的有理根 為 . 代換法 例 3. 解下列方程式： (1) (2) -1, 1, 2, 4； 類題. 解. 解方程式. 乙 . 根與係數的關係 1. 代數基本定理： 每一個複係數( 包括實係數 )次方程式至少有一個複數根. Notes: 每一個複係數次方程式恰好有個複數根 (重根計做個根). 2. 根與係數關係： 設為二次方程式之二根, 則 設為三次方程式之三根, 則 (3) 若為次方程式之個根, 則(i) [ 個根的和 ] [ 任二根乘積的和 ] [ 任三根乘積的和 ] ……………………….. [ 個根乘積 ] (ii) 倒根變換： 若, 則為的個根. 例 4. 已知方程式有一個二重根, 試求及另一根. 類題. 已知方程式有兩個根為(5, 1, 試求第三個根及的值. 例5. 設為方程式之二根, 若為方程式之二根, 則的值為何? (6, 1 例6. 已知方程式的三個根為, 試求下列各式的值： (1) (2) (3) 類題. 設之三根為, 試求之值. (2 例7. 設為方程式的三根, 若= 7, 則= . 或1 例8. 已知, 試解 . 7, 4, 1 類題. 設三數滿足, 令, 若將 表成, 則 . 4 例9. 設為之三根, 則 (1) . (2) . (3) . (4) . 5, 17, 1, (1 例10. 已知方程式之三根成等差數列, 求之值並解方程式. 5, (2, 12 類題. 已知方程式之三根成等差數列, 求之值並解方程式. 例11. 已知方程式之三根成等比數列, 求之值並解方程式. 類題. 已知方程式之三根成等比數列, 求之值並解方程式. 丙 . 根的性質 1. 共軛複數定理： 設為二複數, 則 (1) (2) (3) (4) (5) Notes: 若為一實係數次多項式, 為一複數, 則. 2. 複數根成雙定理： 設= 0為一實係數次方程式, 且虛數為的一根, 則其共軛虛數亦為的一根. 3. 無理根成雙定理： 設= 0為一有理係數次方程式, 為無理數, 若為的一根, 則亦必為 的一根. 例12. (1) 實係數多項式, 若, 則 . (2) 設為實係數次多項式, 若, 求