中国矿业大学工程数学第五章.ppt

章 考虑这一圆盘在上半平面的部分， 注解1、应用同样得方法，我们可以计算一般形如 的积分，其中R(x)是有理分式,R(z)在实轴上没 有孤立奇点，并且分母的次数比分子的次数至 少高2次。 章 章 * * * * (积分曲线为逆时针方向) * * * * * 例9　计算下列积分　 解 * 例11 计算积分 C为正向圆周: 解 为一级极点, 为二级极点, 例12 计算积分 C为正向圆周 : 解 除 被积函数 点外, 其他奇点为 由于 与 1在C的内部, 则 所以 * 解 为奇点, 当 时 为一级极点， * * 解 例14 计算 原式  第五章 留数理论及应用 第3节 留数定理的应用 留数定理的应用--积分的计算: 在数学分析中，以及许多实际问题中，往 往要求计算出一些定积分或反常积分的值，而 这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等 函数表示出来；例如 或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常复杂，例如 例1、?? 计算积分 其中常数a1。 而且当t从0增加到 解：令 ，那么 时，z按逆时针方向绕 圆C:|z|=1 一周。 因此 于是应用留数定理，只需计算 在|z|1内极点处的留数，就可求出I。 上面的被积函数有两个极点： 显然 因此被积函数在|z|1内只有一个极点z1，而它在 这点的留数是： 于是求得 注解1、应用同样得方法，我们可以计算一般形如 的积分，其中R(x,y)是有理分式，并且在圆 C:|z|=1上，分母不等于零。? * 若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次, 并且分母在实轴上无孤立奇点. 一般设 分析 可先讨论 最后令 即可 . 二、形如 的积分 * 2. 积分区域的转化: 取一条连接区间两端的按段光滑曲线, 使与区间 一起构成一条封闭曲线, 并使R(z)在其内部除有 限孤立奇点外处处解析. 1. 被积函数的转化: (当z在实轴上的区间内变动时 , R(z)=R(x)) 可取 f(z)=R(z) . * x y . . 这里可补线 (以原点为中心 , R为半径 的在上半平面的半圆周) 与 一起构成封闭曲线C , R(z)在C及其 内部(除去有限孤立奇点）处处解析. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点 都包在这积分路线内. * 根据留数定理得 : 当 充分大时, 总可使 * * 例2 计算积分 解 在上半平面有二级极点 一级极点 * 例3、?? 计算积分 解：首先，这是一个广义积分，它显然是收敛 的。我们应用留数定理来计算它。考虑函数 这个函数有两个二阶极点 ，在上半平面上的一个是 z=i。 解析函数在无穷远点的性质 设函数f(z)在区域 内解析，那么无穷远点称为f(z)的孤立奇点。在这个区域内，f(z)有洛朗级数展式： 其中系数由定理4.4中类似的公式确定。 令 ，按照R0或R=0，我们得到在 或 内解析的函数 其洛朗级数展式是： 如果w=0是 的可去奇点、（m阶）极点或 本性奇点，那么分别说 是f(z)的可去奇 点、（m阶）极点或本性奇点。 （1）、如果当时n=1,2,3,…， ，那么 是f(z)的可去奇点。 （2）、如果只有有限个（至少一个）整数n，使得 ，那么 是f(z)的极点。 设对于正整数m， ，而当nm时， 那么我们称 是f(z)的m阶极点。 （3）、如果有无限个整数n0，使得 ， 那么我们说 是f(z)的本性奇点。 定理 设函数f(z)在区域 内解析，那么 是f(z)的可去奇点、极点或本性奇点的充分必要条件是： 存在着极限 、无穷极限、不存在有限或无穷的极限 。 注解、上一段的结论都可以推广到无穷远点的情形，我们综合如下： 例5 函数 在复平面内 有些什么类型的奇点? 如果是极点, 指出它的级. 解 函数 除点 外, 所以这些点都是 的一级零点, 故这些点中除1, -1, 2外, 都是 的三级极点. 内解析 . 在 所以 那末 是 的可去奇点. 也可以因为  第五章 留数理论及应用 第2节 留数 * 留数的概念 设函数f(z)在区域0| z-z0|R内解析。C是z0邻域内的任意一条包含z0简单正向闭曲线 那么如果f(z)在z0也解析，则上面的积分等于零； 如果z0是f(z)的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零； 这时，我们把积分 考虑积分 * 定义为f(z)在孤立奇点z0处的留数， 记作 这里积分是沿着C按逆时针方向取的。 事实上，在