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第三章矩阵的初变换与线性方程组
* * 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 §1 矩阵的初等变换 一.引例 求解线性方程组 (1) ① ② ③ ④ (1) ÷ 1 2 3 (2) (2) (3) 3 2 1 3 1 4 － + －2 + + －3 ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ 2 (3) 2 × 1/2 3 + 5 2 4 －3 2 (4) (4) 3 4 －2 3 + 4 （5） ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ 于是得 其中 x3可任意取值，或令x3 = c 这里c为任意常数.则方程组可记为： x = x = 即 把上面方法加以数学抽象 B =（A b) = 称为方程组（1）的增广矩阵. 把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵 上，就得到矩阵的三种初等变换. 二.矩阵的初等变换 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等变换: (1) 对调矩阵的两行(列); (2) 以数k≠0乘矩阵某一行(列)中的所有元素; (3) 把矩阵的某一行(列）所有元素的k倍加到 另一行(列）对应的元素上去; ※ 矩阵初等行变换与初等列变换,统称为初等变换. 显然,三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换: (1) 对换变换 的逆变换就是其本身; (2) 倍乘变换 的逆变换为 ; (3) 倍加变换 的逆变换为 ; ※ 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价,记作A∽B. ※ 矩阵之间的等价关系具有下列性质： （1）反身性 A∽A （2）对称性 若A∽B，则B∽A； （3）传递性 若A∽B，B∽C，则A∽C. ※ 两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价。 *
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