99课纲第四册空间向量1空间概念.PDF

(99課綱 ) 第四冊 第 一章 空間向量 1-1 空間概念 【目標】 能直觀理解空間中的線﹑面及其相互關係 ，並理解直線與平面垂直及兩平面的夾 角的概念與性質 ，作為探討空間幾何的基礎 。 【討論 】 1. 之前談平面幾何時 ，各種圖形如點﹑直線﹑三角形﹑圓都在同一平面上 。 那時 ，平面似乎顯得理所當然 ，無需強調平面的存在； 現在 ，我們要跳脫平面 ，在空間中看問題 ，而空間中有不同的平面。 首先 ，我們就要來探討平面的概念 ，及其相關性質 。 我們由繃緊的絲線﹑直尺的邊緣﹑…等等真實的形體， 抽象出可以無窮延伸的直線； 也可由日常所見的地板﹑桌面﹑卡片﹑… ， 抽象出可以往各方向無限延展的平面 。 幾何問題常藉著畫圖幫助理解 ， 實際上 ，直線常畫成像線段一樣有端點； 同樣的 ，畫平面時 ，也常畫成有邊界的樣子 ， E L 例如：平面 上有一直線 ，就畫成如圖 。 基於直觀的認知。平面有下列基本性質： 空間中平面的基本性質： I. 若一直線上有相異兩點在一平面上，則此直線在該平面上。 II. 若兩相異平面有交點，則兩平面交於一線。 III. 若有不共線的三點，則過此三點恰有一平面。(不共線三點決定一平面) 2. 由平面的三個基本性質 ， 我們可以推論出空間中直線與平面彼此間的一些關係： (1)一直線及不在此直線上的一點決定一平面。 (2)相交兩相異直線決定一平面 。 (3)直線與平面的相交關係恰有三種， 即 (a)直線與平面不相交。又稱平行( ，如圖) (b)直線與平面恰交於一點。(如圖) (c)直線在平面上。 (4)相異兩平面的相交關係恰有兩種 ， 即 (a)兩平面不相交。又稱平行( ，如圖) (b)兩平面恰交於一直線。 (5)相異兩直線的相交關係恰有三種 ， 即 (a)兩直線相交於一點。 (b)兩直線共平面不相交。(平行) (c)兩直線不共平面。 1 上述性質是基本性質I , II , III 導致的必然結果。 以「(1)一直線及不在此直線上的一點決定一平面」為例，說明如下： L L P 設有一直線 及不在 上的一點 ， L 則可在 上取相異兩點A, B ，於是A, B , P 為不共線三點 ， L P 由性質 I及 III可知 ，含直線 與點 的平面恰有一個 。 至於其他性質的推導 ，讀者可自行嘗試 。 3. 若兩直線 L , L ，如(5)之(c)所述不共平面 ， 1 2 則由 (2)知 ， 與 必不相交， L L 1 2 此時稱 與 歪斜 ，或稱 與 是一組 歪斜線。 L L L L 1 2 1 2 E L L P 設平面 上有一直線 及不在 上的一點 ， E 試證：若點 不在平面 上 ， Q L L 則直線 PQ 與直線 不共平面 ，即 PQ 與 歪斜。 證明 ： L P E 由於直線 及線外一點 決定唯一的平面 ， E 又點