2006年考研数学一数学二试题与解析.doc

2006年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1). (2)微分方程的通解是 . (3)设是锥面()的下侧,则 . (4)点到平面的距离= . (5)设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则= . (6)设随机变量与相互独立,且均服从区间上的均匀分布,则= . 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数具有二阶导数,且,为自变量在处的增量,与分别为在点处对应的增量与微分,若,则 (A) (B) (C) (D) (8)设为连续函数,则等于 (A) (B) (C) (C) (9)若级数收敛,则级数 (A)收敛 (B)收敛 (C)收敛 (D)收敛 (10)设与均为可微函数,且.已知是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是 (A)若,则 (B)若,则 (C)若,则 (D)若,则 (11)设均为维列向量,是矩阵,下列选项正确的是 (A)若线性相关,则线性相关 (B)若线性相关,则线性无关 (C)若线性无关,则线性相关 (D)若线性无关,则线性无关. (12)设为3阶矩阵,将的第2行加到第1行得,再将的第1列的-1倍加到第2列得,记,则 (A) (B) (C) (D) (13)设为随机事件,且,则必有 (A) (B) (C) (D) (14)设随机变量服从正态分布,服从正态分布, 且则 (A) (B) (C) (D) 三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=,计算二重积分. (16)(本题满分12分) 设数列满足. 求:(1)证明存在,并求之. (2)计算. (17)(本题满分12分) 将函数展开成的幂级数. (18)(本题满分12分) 设函数满足等式. (1)验证. (2)若求函数的表达式. (19)(本题满分12分) 设在上半平面内,数是有连续偏导数,且对任意的都有 . 证明: 对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线,都有. (20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解, (1)证明方程组系数矩阵的秩. (2)求的值及方程组的通解. (21)(本题满分9分) 设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解. (1)求的特征值与特征向量. (2)求正交矩阵和对角矩阵,使得. (22)(本题满分9分) 随机变量的概率密度为为二维随机变量的分布函数. (1)求的概率密度. (2). (23)(本题满分9分) 设总体的概率密度为 ,其中是未知参数,为来自总体的简单随机样本,记为样本值中小于1的个数,求的最大似然估计. 2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题解析 填空题 （1）= 2 . （） （2）微分方程的通解是，这是变量可分离方程. （3）设是锥面的下侧，则 补一个曲面上侧 ∴ （为锥面和平面所围区域） （为上述圆锥体体积） 而 （∵在上：） （4） (5)设A= 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA=B +2E,则|B|= . -1 2 解:由BA=B +2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得 |B||A-E|=|2E|=4, 计算出|A-E|=2,因此|B|=2. （6） 选择题 （7）设函数具有二阶导数，且，，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分.若，则 (11)设?1,?2,…,?s 都是n维向量，A是m(n矩阵，则（ ）成立. (A) 若?1,?2,…,?s线性相关,则A?1,A?2,…,A?s线性相关. (B) 若?1,?2,…,?s线性相关,则A?1,A?2,…,A?s线性无关. (C) 若?1,?2,…,?s线性无关,则A?1,A?2,…,A?s线性相关. (D) 若?1,?2,…,?s线性无关,则A?1,A?2,…,A?s线性无关. 解: (A) 本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解. 若?1,?2,…,?s线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,…,cs使得 c1?1+c2?2+…+cs?s=0, 用A左乘等式两边,得 c1A?1+c2A?2+…+csA?s=0, 于是A?1,A?2,…,A?s线性相关. 如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性