中级计量经济学讲义_第十章非球形扰动项与广义最小二乘(GLS).doc

PAGE  PAGE 10 第十章 非球形扰动项与广义最小二乘（GLS） 问题的提出 多元化回归模型扰动项违背古典假设的更一般的模型是广义回归模型，即假设 （1） 其中Ω是一般的正定矩阵，而不是在古典假设的情况下的单位矩阵。古典假设条件情况只是这种模型的一个特例。 我们将考察的正定矩阵Ω两种特殊的情况是异方差性和自相关。 异方差性 当扰动项有不同的方差时，它们就是异方差的，异方差性经常产生于横截面数据，其中因变量的尺度（scales）和模型解释能力在不同的观察值之间倾向于变动。我们仍然假设不同观测值之间扰动无关。因此σ2Ω是 自相关 自相关经常出现在时间序列数据中，经济时间序列经常表现出一种“记忆”，因为变化在不同时期之间不是独立的。时间序列数据通常是同方差的，因此σ2Ω可能是 非对角线上的值依赖于扰动项的模式。 普通最小二乘法（OLS）的结果 具有球形干扰项 和 （2） 重申前面的内容，普通最小二乘估计量， （3） 是最佳线性无偏的、一致的和渐近正态分布的（CAN=Consistent and asymptotically normally distributed），并且如果干扰项服从正态分布，在所有CAN估计量中它是渐近有效的。现在我们考察哪些特性在（1）模型中仍然成立。 有限样本特性 对（3）两边取期望，如果，则 （4） 如果回归量和扰动项是无关的，则最小二乘法的无偏性不受（2）假设变化的影响。 最小二乘法估计量的样本方差是 （5） 在（3）中，b是的线性函数,因此，如果服从正态分布，则 由于最小二乘估计量的方差不再是，任何基于的推断都可能导致错误。不仅使用的矩阵是错误的，而且s2也可能是的有偏估计量。通常无法知道是比b的真正方差大还是小，因此即使有的一个好的估计，Var[b]的传统估计量也不会有用。 最小二乘法的渐近特性 如果Var[b]收敛于0，则b是一致的。使用表现良好的回归量，将收敛到一个常数矩阵（可能是0），并且最前面的乘子将收敛于0。但不一定收敛，如果它收敛，则从（5）式可推断普通最小二乘是一致的???无偏的。因此 如果都是有限正定矩阵，则b是β的一致估计量。 上述结论成立的条件依赖于X和Ω。 另一种分离这两个组成部分的处理办法是： 如果 1、X′X最小的特征根当时无限制地增加，这意味着； 2、Ω最大的特征根对于所有n都是有限的。对于异方差模型，方差就是特征根。因此，要求它们是有限的。对于有自相关的模型，这要求Ω的元素有限并且非对角线元素与对角线元素相比不是特别大。那么，普通最小二乘法在广义回归模型中是一致的。 说明普通最小二乘法是不一致的模型 假定回归模型是，其中的均值为0，方差为常数并且在不同观测值之间具有相同的相关系数。于是 矩阵X是一列1。μ的普通最小二乘估计量是=。把Ω代入（5），得 （5a） 这个表达式的极限是而不是0。尽管OLS是无偏的，但它不是一致的。对于这个模型，不收敛。由于X是一列1，因此是一个标 量，满足条件1；但是，Ω的特征根是（重数是n-1）和，不满足条件2；这个例子中模型的困难是不同观测值间有太多的相关。在时间序列情况下，我们一般要求观测值之间关于时间的相关系数随它们之间距离增加而减小。这里条件没有被满足。关于在简介中曾讨论的自相关扰动项的协方差矩阵上需要附加什么种类的要求，这给出一些很有意义的信息。 如果 （5b） 的极限分布是正态的，则OLS估计量渐近地服从正态分布。如果，那么右边项的极限分布与 （5c） 的分布相同，其中是X的一行（当然假定极限分布确实存在）。现在，问题是中心极限定理是否可以直接应用于v。如果扰动项只是异方差的而且仍是无关的，答案通常是肯定的。在这种情况下，很容易看到只要X表现良好，而且Ω对角元素是有限的，最小二乘估计量是渐近正态分布的，方差矩阵由（5）给出。对于大多数一般的情况，答案是否定的，因为（5c）中的和不一定是相互独立或是甚至无关的随机变量的和。不过，雨宫（1985）和安德森（1971）曾指出，自相关扰动项的模型中b的渐近正态性是足够普遍的，以致于包括了我们在实际中可能遇到的大多数情况。我们可以得到结论，除了在特别不利的情况 下， b渐近地服从均值为β，方差矩阵由（5）给出的正态分布。 总之，OLS在这个模型中只保留了它的一些可取性质，它是无偏的、一致的和渐近正态分布的。不过，它不是有效。我们需要寻求b的有效估计。 广义最小二乘（GLS） 在广义回归模型中，β的有效估