引论13-信号采样.ppt

对比式（1-97）看出，当z=esT时，采样序列的Z变换就等于其理想采样信号的拉普拉斯变换： (1-98) 这说明，从理想采样信号的拉普拉斯变换到采样序列的Z变换，就是由复变量S平面到复变量Z平面的映射，其映射关系为: (1-99) 这个变换称为标准变换。下面来讨论这一映射关系。将S平面用直角坐标表示为 s=σ+jΩ 而Z平面用极坐标表示 z=re jω 将它们代入式（1-99）中， 得到 rejω=e(σ+jΩ)T=eσT·ejΩT 因此: r=eσT ω=ΩT (1-100b) (1-100a) 显然，z的模r对应于s的实部σ，z的相角ω对应于s的虚部Ω。 * * 第1章 离散时间信号与系统 1.3 连续时间信号的采样 一个连续时间信号能用其采样序列来完全给予表示，连续时间信号的处理往往是通过对其采样得到的离散时间序列的处理来完成的。 本节讨论采样过程: 采样后信号的频谱怎样变换， 信号内容会不会丢失，离散信号恢复件等。 图 连续时间信号的采样过程 1.3.1 理想采样 理想采样就是假设采样开关闭合时间无限短，即τ→0的极限情况。此时，采样脉冲序列p(t)变成冲激函数序列s(t)，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，面积为1。采样后，输出理想采样信号的面积（即积分幅度）则准确地等于输入信号xa(t)在采样瞬间的幅度。冲激函数序列s(t)为 （1） 以 表示理想采样的输出，以后我们都以下标a表示连续信号（或称模拟信号），如xa(t)；而以它的顶部符号（∧）表示它的理想采样，如 。这样我们就可将理想采样表示为 把式（1）代入式（2），得 由于δ(t-nT)只在t=nT时不为零，故 (3) (4) （2） 1.3.2 理想采样信号的频谱 在连续时间信号与系统中已学过， 表示时域相乘， 则频域（傅里叶变换域）为卷积运算。 若各个信号的傅里叶变换分别表示为: (1) (2) (3) 则应满足 现在来求S(jΩ)=F［s(t)］。 由于s(t)是以采样频率重复的冲激脉冲，因此是一个周期函数，可表示为傅里叶级数，即 (4) 此级数的基频为采样频率，即: 一般称fs为频率，单位为赫兹(Hz)，Ωs为角频率，单位为弧度/秒; 习惯上都统称为“频率”。 它们的区别由符号f及Ω来识别。 根据傅氏级数的知识，系数ak可以通过以下运算求得 以上结果的得出是考虑到在|t|≤T/2的积分区间内，只有一个冲激脉冲δ(t)，其他冲激δ(t-nT)，n≠0 都在积分区间之外，且利用了以下关系: 因而 (5) 由此得出 由于 (6) 所以 (7) 将式（7）代入式（4）可得 根据冲激函数的性质，可得 (8) 或者 (9) 一个连续时间信号经过理想采样后，其频谱将沿着频率轴以采样频率Ωs=2π/T 为间隔而重复，这就是说频谱产生了周期性延拓， 即：理想采样信号的频谱， 是Xa(jΩ)的周期延拓函数，其周期为Ωs，而频谱的幅度则受1/T 加权。 如各延拓分量与原频谱分量不发生频率混叠，则有可能恢复出原信号。也就是说，如果xa(t)是限带信号，且最高频谱分量Ωh不超过Ωs/2，即 图 时域采样后， 频谱的周期延拓  （a）原始限带信号频谱; （b） 采样函数频谱;  （c）已采样信号频谱（Ωs2Ωh）;（d）已采样信号频谱（Ωs2Ωh） 那么原信号的频谱和各次延拓分量的谱彼此不重叠，如图1-10（c）所示。 采用一个截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器， 就可得到不失真的原信号频谱。 (10) 图 时域采样后， 频谱的周期延拓  （a）原始限带信号频谱; （b） 采样函数频谱;  （c）已采样信号频谱（Ωs2Ωh）;（d）已采样信号频谱（Ωs2Ωh） 如果信号的最高频谱Ωh超过Ωs/2，则各周期延拓分量产生频谱的交叠，称为混叠现象， 由于Xa(jΩ)一般是复数，所以混叠也是复数相加。为了简明起见，在图中我们将Xa(jΩ)作为标量来处理。  常常将采样频率之半（Ωs/2）称为折叠频率，即 它如同一面镜子，当信号频谱超过它时，就会被折叠回来，造成频谱的混叠。 (11) 例：说明了在简单余弦信号情况下频谱混叠的情况。在图（a）中，给出该余弦信号 的傅里叶变换Xa(jΩ)。 图（b）是在Ω0Ωs/2时， 的傅里叶变换。 图（c）是在Ω0Ωs/2时， 的傅里叶变换。 例图 一个余弦信号采样中的混叠效果 （d）