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第四章 连续系统的频域分析 例如： 例4―1 试将下图所示的方波信号f(t)展开为傅里叶级数。 例题： 求信号的能量谱 解：由 得到 类似能量谱 定义能量频谱E(w),为单位频率的信号能量 功率谱的定义 P(w)是w的偶函数，由频谱函数的模量决定，单位频谱的能量，单位 W·s 4.6 周期信号的傅里叶变换 一、正、余弦的傅里叶变换 1←→2πδ(ω) 由频移特性得 e j ω0 t ←→ 2πδ(ω–ω0 ) e –j ω0 t ←→ 2πδ(ω+ω0 ) cos(ω0t)=?(e j ω0 t + e –j ω0 t) ←→ π[δ(ω–ω0 ) +δ(ω+ω0 )] sin(ω0t)= (e j ω0 t - e –j ω0 t)/(2j) ←→ jπ[δ(ω+ω0 ) – δ(ω – ω0 )] 二、一般周期信号的傅里叶变换 例1：周期为T的单位冲激周期函数?T(t)= 解： (1) 例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。 解：周期信号f(t)也可看作一时限非周期信号f0(t)的周期拓展。即 f(t) = ?T(t)* f0(t) F(jω) = Ω?Ω(ω) F0(jω) F(jω) = 本题 f0(t) = g2(t)←→ (2) (2)式与上页(1)式比较，得 这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。 4.7 LTI系统的频域分析 傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。 对周期信号： 对非周期信号： 其基本信号为 ej ?t 一、基本信号ej ?t作用于LTI系统的响应 说明：频域分析中，信号的定义域为(–∞，∞)，而t= – ∞总可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态响应，常写为y(t)。 设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率ω的基本信号ej ?t时，其响应 而上式积分 正好是h(t)的傅里叶变换，记为H(j ?)，常称为系统的频率响应函数。 y(t) = H(j ?) ej ?t H(j ?)反映了响应y(t)的幅度和相位。 y(t) = h(t)* ej ?t 二、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应 ej ?t H(j ?) ej ?t F(j ?) ej ?t d ? F(j ?)H(j ?) ej ?t d ? 可加性 ‖ f(t) ‖ y(t) =F –1[F(j ?)H(j ?) ] Y(j ?) = F(j ?)H(j ?) 齐次性 也可简记为 F(jω) = F [f(t)] f(t) = F –1[F(jω)] 或 f(t) ←→F(jω) F(jω)一般是复函数，写为 F(jω) = | F(jω)|e j ?(ω) = R(ω) + jX(ω) 说明 (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件: 在无限区间里面f(T)绝对可积 (2)用下列关系还可方便计算一些积分 二、常用函数的傅里叶变换 单边指数函数f(t) = e–?tε(t)， ? 0实数 振幅频谱 相位频谱 2. 双边指数函数f(t) = e–??t? , ? 0 3. 门函数(矩形脉冲) 4. 冲激函数?(t)、?′(t) 均匀谱或者白色频谱 5. 常数1 有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，?(t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。 可构造一函数序列{fn(t)}逼近f (t) ，即 而fn(t)满足绝对可积条件，并且{fn(t)}的傅里叶变换所形成的序列{Fn(j?)}是极限收敛的。则可定义f(t)的傅里叶变换F (j?)为 这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。 构造 f?(t)=e-??t? ，? 0←→ 所以 又 因此， 1←→2??(?) 另一种求法： ?(t)←→1代入反变换定义式，有 将?→t，t→-? 再根据傅里叶变换定义式，得 6. 符号函数 7. 阶跃函数?(t) 归纳记忆： 1. F 变换对 2. 常用函数 F 变换对： δ(t) ε(t) e -?t ε(t) gτ(t) sgn (t) e –?|t| 1 1 2πδ(ω) 4.5 傅里叶变换的性