第4节 对面积的积分.ppt

第九章 曲线积分与曲面积分 第四节 对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 2. 对面积的曲面积分的定义 二、计算法 四、小结 * * 1. 实例 所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动. 前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲线积分 其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和式 抽象概括得到对面积的曲面积分的概念 1.定义 3.对面积的曲面积分的性质 注 对面积的曲面积分的应用 面积 质量 重心 转动惯量 则 按照曲面的不同情况分为以下三种： 则 则 这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式 简述为：一代、二换、三投影 代：将曲面的方程代入被积函数 换：换面积元 投影：将曲面投影到坐标面得投影区域 注：把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程 即方程的表达形式 例1 解 例2 计算 与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面 解 在 xoy 内的投影区域 o x y z 例3 计算 z = 0 与 z = H 之间的圆柱面 解 由对称性 有 例4 解 依对称性知： 注 对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性 对称于xoy （或yoz ，或 zox ）坐标面 若 f（x , y , z ) 关于z（或 x ，或 y ）是奇函数 若 f（x , y , z ) 关于z（或 x ，或 y ）是偶函数 完全类似于三重积分的对称性 例5 计算 解 例6 解 （左右两片投影相同） 例7 解 例8 求均匀曲面 的重心坐标 解 由对称性 故 重心坐标为