第5章 连续体力学.ppt

第五章 连续体力学 5－1　固体的弹性 三、弯曲和扭转形变 5－2　流体静力学 5－3　流体运动学 5－4　伯努利方程及其应用 三、流体的升力 5－5 粘性流体的流动 求出理想流体定常流动的伯努利方程： 二、方程的应用 1、小孔流速问题：大桶侧壁有一小孔，桶内盛满了水，求水从小孔流出的速度和流量。 取一根从水面到小孔的流线，在水面那一端速度几乎是0（桶的面积比小孔大得多），水面到小孔的高度差为h, 此流线两端的压强皆为p0（大气压），故由伯努利方程有: 2、文特利流量计 在水平管道中取一条流线，对1,2两点，应用伯努利方程： 又由连续性方程： 及压差关系： 求出流量： 3、皮托管测气体流速 开口A迎向气流，是个速度vA=0的驻点；开口B在侧壁，其外流速vB差不多就是待测的流速v。可求得待测气体流速 4．虹吸管 将一软管装满水后一端插入大水池中，另一端在水池外，水将通过软管不断从大水池中流出。称之为虹吸管。现要求虹吸管出水口2点处的流速及管中最高点3处高出水面的最大高度h。 选择一条流线从水面上的1点开始经软管最后到出水口2点。对1、2两点应用伯努利方程有 求出 对流管上2、3两点应用伯努利方程有 3点最高时P3＝0，于是有 对水平流管，有： 即流管细的地方流速大，压强小。喷雾器、水流抽气机等，都利用截面小处流速大、压强小的原理制成的。将两张纸平行放置，用口向它们中间吹气，两张纸就会贴在一起；将一个乒乓球放在倒置的漏斗中间，用口向漏斗嘴里吹气，乒乓球可以贴在漏斗上不坠落；两艘同向行驶的船靠近时，就有相撞的危险。 例题? 如图，在圆筒底上有一漏水口，水旋转着从这里流出。求呈漏斗状水面的方程。 解：把水当做理想流体，其环量守恒。当水面的环流向下流动并向中央集中时，积分回路的周长正比于半径r，故速度的切向分量按1/r的比例增加。在水面上的压强处处相等(皆为大气压)，根据伯努利原理，在沿水面的流线上有： 式中v2∝1/r2，故有 当固体与流体有相对运动时，物体除了受到一定的阻力外，有时还会受到与相对速度垂直的力，典型的例子是机翼受到的上举力。这种横向力统称升力，不管它是否朝上。俄国的茹可夫斯基于1906年提出，升力与流速场绕物体的环量成正比。 设刚性物体以匀速-U穿过静止流体，或认为物体在以速度U流动的流体中静止。取U的方向为+x方向，环量Γc的方向为+y方向，则升力F的大小和方向为： 上式称做茹可夫斯基定理。 * 　　前面将物体简化成质点或刚体，质点不考虑物体的大小形状，刚体则不考虑物体的形变。本章研究连续体力学。连续体包括弹性体和流体。 　　弹性体在受到外力作用时会发生形变，而当外力撤消后，形变也消失，物体又恢复原状。 　　弹性体有四种形变：拉伸压缩形变、剪切形变、弯曲形变和扭转形变，其中前两种是基本的，后两种可看成是前两种的组合。 1、正应力与应变 F F Fn S 以一个被拉伸（压缩）的直杆为例，此时杆内各处张力Fn 均与横截面S相垂直，定义作用在S面上的正应力： σ＞0时为拉伸应力， σ＜0时为压缩应力。 l0 l b0 b 设一杆被拉伸发生形变如图所示，定义 纵向应变： 一、拉伸压缩形变 l0 l b0 b 横向应变： 泊松系数： 2、胡克定律 在弹性限度内应力与应变成正比： 或 系数Y称为杨氏模量。 演示: 弹性形变 3、拉伸（压缩）形变的势能 外力迫使弹性体发生形变时，反抗形变的弹性力也是保守力，因而拉伸（压缩）形变的弹性体也有弹性势能。以直杆为例，形变量为x 时，杆中张力为 ，在直杆形变的过程中，外力作功： 其中V 为直杆的体积。直杆因被拉伸（压缩）形变而具有的势能密度： 二、剪切形变、剪切应力与应变 F F 当物体受到一对力偶作用使两个平行截面发生相对平移时，这种形变称为剪切形变。 此时受力F与横截面相互平行。以S表示横截面积，定义剪切应力： F F φ a b b’ 定义剪切应变： φ角也称为切变角。 1、剪切形变 2、剪切形变的胡克定律 在弹性限度内，剪切应力与剪切应变成正比： N为材料的剪切模量。 理论上还可推出杨氏模量Y、剪切模量N和泊松系数μ之间的关系： 3、剪切形变的势能 用类似的方法可得出发生剪切形变的弹性势能密度 1、梁的弯曲 G N1 N2 水平横梁都会在自身重力和两端支持力作用下发生弯曲。可认为梁的上半部受压缩而下半部受拉伸，越靠边缘形变越大。 对一个高为h，宽为b 的矩形梁，可求出中性层的曲率半径R为： h b 2、柱的扭转 长度为l 的圆柱体两端受到一对大小相等、方向相反的力偶矩±M外时，将发生扭转形变。圆柱体两端面相对转过的角度?叫做扭转角。柱面上的“正方形”面元变成了“菱形”。所以，扭转形变本质上是剪切形变，不过距柱轴不同距离的地方剪切角不同。 可求出外力