第6章 3维变换与投影.ppt

变换矩阵 （6-32） 变换为： 写成展开式为： （6-33） 则有 因此式（6-33）可以写为： 令 （6-34） 经过上节变换，用户坐标系中的点已经变换为观察坐标系种的点。观察坐标系和屏幕座标系同为左手系，而且z轴同向。视点Os和视心Op的距离为视距d。假定观察坐标系中物体上的一点为P0（xs，ys，zs），视线OsP0和屏幕的交点为Pp。如图6-15所示。 6.5.4 观察坐标系到屏幕坐标系的变换 P0（xs，ys，zs） Pp（xp，yp） P’ P’ 图6-15 透视变换 d 根据相似三角形对应边成比例的关系，有 于是有： 写成矩阵形式为： （6-35） 透视变换矩阵为： （6-36） 在6.2节曾经介绍过， 投影变换。这里r＝1/d。如果d→∝时，则r→0，透视变换转化为平行投影变换。 进行的是透视 通过以上分析，用户坐标系到屏幕坐标系的透视投影变换矩阵为： （6-37） 图6-16中的林中小路在远方汇聚成为一点。透视投影中，与屏幕平行的平行线投影后仍保持平行。不与屏幕平行的平行线投影后汇聚为一点，此点称为灭点，灭点是无限远点在屏幕上的投影。每一组平行线都有其不同的灭点。一般来说，三维物体中有多少组平行线就有多少个灭点。 图6-16 小路的透视投影 图6-17 一点透视投影图 灭点 6.5.5 透视投影分类 平行于某一坐标轴方向的平行线在屏幕上投影形成的灭点称为主灭点。因为有x、y和z三个坐标轴，所以主灭点最多有三个。当某个坐标轴与物体投影面平行时，则该坐标轴方向的平行线在屏幕上的投影仍保持平行，不形成灭点。透视投影中主灭点数目由与投影面相交的坐标轴数目来决定，并据此将透视投影分类为一点、二点和三点透视。一点透视有一个主灭点，即投影面仅与一个坐标轴相交，与另外两个坐标轴平行，如图6-17所示；两点透视有两个主灭点，即投影面仅与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行；三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。 当屏幕仅与一个坐标轴相交时，形成一个灭点，透视投影图为一点透视图，如图6-18所示。从图6-9可以看出，当θ＝0°，φ＝90°时，屏幕平行于yoz面，得到一点透视图。将θ＝0°，φ＝90°代入式（6-37），得到一点透视变换矩阵。 一点透视的变换矩阵为： （6-38） 1、一点透视 图6-18 立方体的一点透视投影图 当屏幕仅与两个坐标轴相交时，形成两个灭点，透视投影图为二点透视图，如图6-19所示。从图6-9可以看出，当0°＜θ＜90°，φ＝90°时，屏幕与x轴和y轴相交，平行于z轴，得到二点透视图。将φ＝90°代入式（6-37），得到二点透视变换矩阵。 （6-39） 2、二点透视 图6-19 立方体的二点透视投影图 三点透视图是屏幕与三个坐标轴都相交时的透视投影图，如图6-20所示。从图6-9可以看出，当0°＜θ＜90°，0°＜φ＜90°时，屏幕与x轴、y轴和z轴相交，得到三点透视图。 三点透视变换矩阵： （6-40） 3、三点透视 图6-20 立方体的三点透视投影图 * (1) 将P1(x1，y1，z1)平移到坐标原点 （6-18） （2) 将P1P2轴绕y轴旋转?y角，与yoz平面重合 （6-19） (3) 将P1P2轴绕x轴旋转?x角，与y轴重合 （6-20） (4) 将P(x，y，z）点绕y轴旋转θ角 （6-21） （5）将P1P2绕x轴旋转-?x角 （6-22） （6）将P1P2绕y轴旋转-?y角，其变换矩阵为 （6-23） （7）将P1(x1，y1，z1)点平移回原位置 （6-24） 式中，sinθx、sinθy、cosθx、cosθy为中间变量。 考虑P1P2轴上的单位矢量n，它在三个坐标轴上的投影值为n1、n2、n3。取y轴上一单位矢量将其绕x轴旋转-θx角，再绕y轴旋转-θy角，则此单位矢量将同单位矢量n重合，其变换过程为： 即， 同时考虑到 6.4 平行投影 由于显示器只能用二维图像表示三维物体，因此三维物体就要靠投影来降低维数得到二维平面图形，因此把三维物体转变为二维图形的过程称为投影变换。 投影中心到投影面的距离为无限大时得到的投影称为平行投影。平行投影的最大特点是无论物体距离视点多远，投影后的物体尺寸保持不变。 平行投影可分成两类：正投影(正交投影)和斜投影。当投影方向与投影面垂直时，得到的投影为正投影，否则为斜投影。 6.4.1 三视图 三视图是正投影视图，包括主视图、俯视图和侧视图，投影面分别与y轴、 z轴和x轴垂直。即将三维物体分别对正面、水平面和侧平面做正投影得到三