分析动力学1约束理论.pptVIP

清华大学航天航空学院 王天舒（tswang@tsinghua.edu.cn） 分析动力学之约束理论 本节内容 内容1：约束、广义坐标 内容2：约束的几何意义 内容3：约束对运动的影响（位移、速度）。 虚位移是约束被“冻结”后此瞬时约束允许的无限小位移，与时间t的变化无关 (? t ? 0)。 分析力学的基础概念：虚位移 1.1 位形空间 对于物体运动的客观空间，引入笛卡儿坐标系Oxyz。为描述一个质点的运动，需考虑在每一时刻t的向径r(t): 对于由N个质点所构成的系统，则需要3N个数来表示质点系统的位置和形状（位形）： 引入由这3N个数张成的抽象空间来表示位形c，令该空间是由这3N个数构成各维的正交欧氏空间C，称为位形空间。 运动的多维空间描述 系统每一时刻的位形唯一对应于C空间的一个表现点c C空间的一个点c对应于系统的一个位形 当系统的位形随时间变化时，其位形表现点在C空间中画出了一超曲线，即一维的轨迹，称为系统的C轨迹。 C轨迹的一般性质： 1. C轨迹是连续的； 2. C轨迹可以有重点； 3. C轨迹的拐点仅发生在如下情况； a. 静止点处； b. 在有打击作用的时刻； 位形空间的特点 1.2 约束 约束：非自由质点系在空间中的位置及其在运动中受到的限制 约束方程：用数学方程表达各质点所受的限制条件 在由两个或更多质点构成的系统中，不受约束的运动是不存在的。 绝大多数的运动都是约束运动。 刚性杆 约束 具有如下形式或可以化为如下形式的约束称为完整约束： A 1.3 完整约束 完整约束(homonomic constraint) 如约束表达式中不显含时间 t ，则称其为定常约束(scleronomic constraint)； 否则称为非定常约束(rheonomic constraint) 。 定常约束和非定常约束 对于定常约束： 一个约束方程构成位形空间上的一个N-1维固定曲面。 对于非定常约束？ 系统运动的c轨迹必须位于该曲面内。 约束方程的几何解释 1.4 广义坐标 能够唯一地确定质点系可能位置的独立参数称为广义坐标。选定广义坐标后，系统内笛卡儿坐标可由广义坐标确定 广义坐标数为： N – 质点总数 r – 完整约束的总数； 广义坐标 取一组新的坐标： 两组坐标之间的变换关系： 两组坐标均可以描述质点的位形 考虑系统由一个质点构成 约束方程为：x-y=0 广义坐标 注意到完整约束关系: 则有： 即可以用两个坐标表示系统的位形：广义坐标 在广义坐标下系统的完整约束自然满足，约束方程可不予考虑。 广义坐标 设由N个质点组成的系统包含独立的r个完整约束 引入一组新的变量q： 令变换关系中的前r项为完整约束，其余部分任选，但要求变换式为无关组。 则可以得到从x到q的变换： 广义坐标 注意到完整约束关系: 则有： 即笛卡儿坐标可利用另一组坐标表示 当采用广义坐标时，完整约束自动满足。 广义坐标 假设约束曲面是光滑的，有： 在约束面上的任一点处的充分小临域内，约束方程要求所有的可能轨迹必须在其切平面内，而不是约束曲面内。 虚位移在约束曲面的切平面内。 约束对无穷小位移的影响（局部特性） 在光滑球面上运动的质点，球面方程为： 约束方程： 无穷小的位移改变应满足： 约束对无穷小位移的影响（例） 设在无穷小位移上的约束为： 其中g(z)为z的已知函数，求加在有限位移上的约束 解：没有加在有限位移上的约束。 若令加在有限位移上的约束为： 则有： 加在无穷小位移上的约束不一定会限制有限位移的运动。 速度约束不一定对位移有限制。 约束与有限位移和无穷小位移（例） 不可化为完整约束形式的约束为非完整约束。 大多数实际遇到的非完整约束问题，其约束方程为质点速度的一次代数方程： O x y v ? C 1.5 非完整约束 非完整约束 * *