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基本初等函数考点整理 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根。即若，则称的次方根， 1）当为奇数时，次方根记作； 2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作。 ②性质：1）；2）当为奇数时，； 3）当为偶数时，。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）N*；2）； n个 3）Q，4）、N* 且。 ②性质：1）、Q）； 2）、 Q）； 3） Q）。 （注）上述性质对r、R均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。 1）以10为底的对数称常用对数，记作； 2）以无理数为底的对数称自然对数，，记作； ②基本性质： 1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）； 3）；4）对数恒等式：。 ③运算性质：如果则 1）； 2）； 3）R）。 ④换底公式： 1）；2）。 2．指数函数与对数函数 （1）指数函数： ①定义：函数称指数函数， 1）函数的定义域为R；2）函数的值域为； 3）当时函数为减函数，当时函数为增函数。 ②函数图像： 1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限； 2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）； 3）对于相同的，函数的图象关于轴对称。 ③函数值的变化特征： （2）对数函数： ①定义：函数称对数函数， 1）函数的定义域为；2）函数的值域为R； 3）当时函数为减函数，当时函数为增函数； 4）对数函数与指数函数互为反函数。 ②函数图像： 1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限； 2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）； 4）对于相同的，函数的图象关于轴对称。 ③函数值的变化特征： 四．典例解析 题型1：指数运算 例1．（1）计算：； （2）化简：。 解：（1）原式= ； （2）原式= 。 点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。 例2．已知，求的值。 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴。 点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。 题型2：对数运算 例3．计算 （1）；（2）； （3）。 解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）分子=； 分母=； 原式=。 点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。 例4．设、、为正数，且满足 （1）求证：； （2）若，，求、、的值。 证明：（1）左边 ； 解：（2）由得， ∴……………① 由得………… ……………② 由①②得……………………………………③ 由①得，代入得， ∵， ∴………………………………④ 由③、④解得，，从而。 点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。 题型3：指数、对数方程 例5．设关于的方程R）， （1）若方程有实数解，求实数b的取值范围； （2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。 解：（1）原方程为， ， 时方程有实数解； （2）①当时，，∴方程有唯一解； ②当时，. 的解为； 令 的解为； 综合①、②，得 1）当时原方程有两解：； 2）当时，原方程有唯一解； 3）当时，原方程无解。 点评：具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验。 例6．（2006辽宁 文13）方程的解为 。 解：考察对数运算。原方程变形为，即，得。且有。从而结果为。 点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。 题型4：指数函数的概念与性质 例7．设（ ） A．0 　B．1 C．2 D．3 解：C；，。 点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值。 例8．已知试求函数f(x)的单调区间。 解：令，则x=，t∈R。 所以即，（x∈R）。 因为f(－x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故只需讨论f(