基本初等函数的图像与性质97~03格式.doc

函数的单调性、奇偶性、周期性、图象变换 一、函数的单调性 1.单调性的定义 一般地，设函数的定义域为： （1）如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量值、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数，区间我们称为函数的单调增区间； （2）如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量值、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数，区间我们称为函数的单调减区间。 2.函数单调的充要条件 （1）若为区间上的单调递增函数，、为区间内两任意值，那么有： 或 （2）若为区间上的单调递减函数，、为区间内两任意值，那么有： 或 3.函数单调性的判断(证明) (1)定义法（作差法） (2)求导法 4.复合函数的单调性的判定 对于函数和，如果函数在区间上具有单调性，当时，且函数在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性。 判断依据：同增异减 5.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数和，若它们的定义域分别为和，且： (1)当和具有相同的增减性时，函数、的增减性与 (或)相同，、的增减性不能确定； (2)当和具有相异的增减性时，函数、的增减性不能确定，、的增减性与相同。 6.奇偶函数的单调性 奇函数在定义域内的对称区间上单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。 常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 二、函数的奇偶性 1. 奇偶性的定义 如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，则称函数为偶函数；如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，则称函数为奇函数。 2.奇偶性的几何意义 具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称。 3.函数奇偶性的判断(证明) (1)比较与的关系； (2)（）与的关系； (2) 与的关系 4.由具有奇偶性的函数的四则运算所得到的函数的奇偶性的判断 对于两个具有奇偶性的函数和，若它们的定义域分别为和，且： (1)当和具有相同的奇偶性时，那么： ①函数、的奇偶性与相同； ②、为偶函数； (2)当和具有相异的奇偶性时，那么： ①、的奇偶性不能确定； ②、为奇函数。 5.函数奇偶性的常用结论： （1）如果一个奇函数在处有定义，则，如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则（反之不成立） （） （3）一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。 （4）两个函数和复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。 三、函数的周期性 1.周期性的定义 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数是函数的周期，那么、）也是函数的周期。 2. 函数的周期性的主要结论： 结论1：如果，那么是周期函数，其中一个周期 结论2：如果，那么是周期函数，其中一个周期 结论3：如果，那么是周期函数，其中一个周期 五、函数的图象 （1）作图 利用描点法作图： ①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图： 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换 ②伸缩变换 ③对称变换 （2）识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法． 基本初等函数的图像与性质 一、幂函数 1．定义：形如y=xn（n∈R）的函数，叫做幂函数。 2．幂函数y=xn (nR)的图象与性质 n 性质 图象 奇函数 非奇非偶函数 偶函数 n0 图象经过点（1，1）。 图象在第一象限内y随x的增大而减小。 即在（0，+）上是减函数。 n0 （1）图象经过点（0，0）、（1，1）。 （2）图象在第一象限内y随x的增大而增大。 即在（0，+）上是增函数。 0n1 n=1 n1 二、指数函数 1．指数函数的定义:形如y=ax（a0且a≠1）的函数,叫做指数函数. 2．指数函数y=ax（a0且a≠1）的图象与性质 a的范围 图象 性质 0a1 ①过