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复数相等的充要条件及应用 山东省诸城实验中学 崔永美 两个复数，相等的充要条件是且。复数相等的充要条件是把复数问题转化成实数问题的主要途径， ，求实数的值。 分析：本题是复数相等的充要条件的直接应用。 解析：因为为实数，所以为实数。 由复数相等的充要条件得 解得 点评：两个复数相等时，应分清两复数的实部和虚部，然后让其实部与实部相等，虚部与虚部相等，从而求出系数的值。 练一练：已知，求实数的值。 解析：因为为实数，所以都为实数。 由复数相等的充要条件得 解得　　 求满足条件的复数（相当于求方程的复数解）是实数，是纯虚数，且满足，求与。 分析是纯虚数”这个条件，按常规解法，可设的代数形式，代入已知等式（方程），利用复数相等的充要条件求解是纯虚数，可设则 可化为， 由复数相等的充要条件得 解得 所以 点评：本例题审题要认真，“是实数，是纯虚数”是本题与例1的不同之处，也是易错点。是纯虚数，可设（若为复数可设为）代入已知等式（方程），利用复数相等的充要条件求解的共轭复数是，且满足，求。 解析：设，则 所以方程可化为 即 所以 由②得代入①得 所以 三、 求复系数方程的实数解 　　例3 已知关于的方程,若该方程有实数根，求锐角实数根分析 　　 设该方程的实根为，则 　　即， 　　由复数相等的充要条件，得　　解得 　　又为锐角，所以　　所以锐角，实数根为-1. 　　复数问题实数处理是我们学习复数时要掌握的主要的思想求复系数方程的实数解，，然后依据复数相等的充要条件建立实数方程组，通过解方程组，达到解题的目的的方程有非零实根，求实数的值及方程的实根。 解析：设方程的实根为代入方程得 即 由复数相等的充要条件，得 即实数的值为2，方程的实根为-3。 　、 求参数的取值范围　 例4 已知复数,若，试证明：　　分析依据复数相等的充要条件，可写出的关于θ的表达式 　　证明因为，所以 　　可得 　　因为，所以 　　本题是复数与三角函数知识的综合题仍然是利用复数相等的充要条件来化归并解决问题在求的取值范围时，请注意对三角函数知识进行回顾试求的取值范围。 解析：设则 由复数相等得 由①得 所以则　　、 求复平面上的点的轨迹 　　例的，，当方程有实根时，求点的轨迹方程满足方程，利用复数相等的充要条件列出之间的关系，再消去得到的等量关系，即为轨迹方程。 解析：设实根为，则即  根据复数相等的充要条件得 由②得代入①得 即 所以所求的轨迹方程为　　复数的代数实质是有序实数对，几何实质是复平面内的点利用复数相等的充要条件将题设转化为动点的坐标关于参数的方程组，然后消去参数，便可得的关系式，即为所求的轨迹方程对应的点的轨迹。 解析：设，则 消去得， 因为 所以复数对应点的轨迹是一条射线，其方程为。