大学物理习题答案16.doc

第十六章 电磁场 P177． 16．1 一条铜棒长为L = 0.5m，水平放置，可绕距离A端为L/5处和棒垂直的轴OO在水平面内旋转，每秒转动一周．铜棒置于竖直向上的匀强磁场中，如图所示，磁感应强度B = 1.0×10-4T．求铜棒两端A、B的电势差，何端电势高． [解答]设想一个半径为R的金属棒绕一端做匀速圆周运动，角速度为ω，经过时间dt后转过的角度为 dθ = ωdt， 扫过的面积为 dS = R2dθ/2， 切割的磁通量为 dΦ = BdS = BR2dθ/2， 动生电动势的大小为 ε = dΦ/dt = ωBR2/2． 根据右手螺旋法则，圆周上端点的电势高． AO和BO段的动生电动势大小分别为 ， ． 由于BO AO，所以B端的电势比A端更高，A和B端的电势差为 = 4.71×10-4(V)． [讨论]如果棒上两点到O的距离分别为L和l，则两点间的电势差为 ． 16．2 一长直载流导线电流强度为I，铜棒AB长为L，A端与直导线的距离为xA，AB与直导线的夹角为θ，v向右运动．求AB棒的动生电动势为多少，何端电势高？ [解答]在棒上长为l处取一线元dl，在垂直于速度方向上的长度为 dl⊥ = dlcosθ； 线元到直线之间的距离为 r = xA + lsinθ， 直线电流在线元处产生的磁感应强度为 ． 由于B，v和dl⊥相互垂直，线元上动生电动势的大小为 ， 棒的动生电动势为 ， A端的电势高． [讨论]（1）当θ→π/2cotθ = cosθ/sinθ→0，所以ε→0，就是说：当棒不切割磁力线时，棒中不产生电动势． （2）当θ→， 所以 ， 这就是棒垂直割磁力线时所产生电动势． 16．3 如图所示，平行导轨上放置一金属杆AB，质量为m，长为L．在导轨上的一端接有电阻R．匀强磁场B垂直导轨平面向里．当AB杆以初速度v0向运动时，求： （1）AB杆能够移动的距离； （2）在移动过程中电阻R上放出的焦耳热为多少？ [分析]当杆运动时会产生动生电动势，在电路中形成电流；这时杆又变成通电导体，所受的安培力与速度方向相反，所以杆将做减速运动．随着杆的速度变小，动生电动势也会变小，因而电流也会变小，所受的安培力也会变小，所以杆做加速度不断减小的减速运动，最后缓慢地停下来． [解答]（1）方法一：速度法．设杆运动时间t时的速度为v，则动生电动势为 ε = BLv， 电流为 I = ε/R， 所受的安培力为 F = -ILB = -εLB/R = -(BL)2v/R， 负号表示力的方向与速度方向相反． 取速度的方向为正，根据牛顿第二定律F = ma得速度的微分方程为 ， 即： 积分得方程的通解为 ． 根据初始条件，当t = 0时，v = v0，可得常量C1 = lnv0．方程的特解为 ． 由于v = dx/dt，可得位移的微分方程 ， 方程的通解为 ， 当t = 0时，x = 0，所以常量为． 方程的特解为 ． 当时间t趋于无穷大时，杆运动的距离为 ． 方法二：冲量定理．根据安培力的公式可得 F = -(BL)2v/R， 负号表示安培力与速度的方向相反．因此 ， 根据冲量定理得 ， 即：杆所受的冲量等于杆的动量的变化量．积分后可得 ． （2）方法一：焦耳定律．杆在移动过程中产生的焦耳热元为 整个运动过程中产生的焦耳热为 ， 即：焦耳热是杆的动能转化而来的． 方法二：动能定理．由于 I = ε/R， 其中 ε = BLv = BLdx/dt， 而安培力为 F = -ILB， 负号表示安培力的方向与杆运动的方向相反．因此焦耳热元为 dQ = I2Rdt = Iεdt = IBLdx = -Fdx． 负号表示安培力做负功．根据动能定理，磁场的安培力对杆所做的功等于杆的动能的增量，因此安培力在杆的整个运动过程中所做的功为 ， 所以产生的焦耳热为 ． [小结]在求杆的运动距离时，用冲量定理可避免解微分方程．在求焦耳热时用动能定理可避免积分运算． 16．4 如图所示，质量为m、长度为L的金属棒AB从静止开始沿倾斜的绝缘框架滑下．磁感应强度B的方向竖直向上（忽略棒AB与框架之间的摩擦），求棒AB的动生电动势．若棒AB沿光滑的金属框架滑下，设金属棒与金属框组成的回路的电阻R为常量，棒AB的动生电动势又为多少？ [解答]（1）棒的加速度为 a = gsinθ， 经过时间t，棒的速度为 v = at = (gsinθ)t， 而切割磁力线的速度为v⊥ = vcosθ， 所以棒的动生电动势为 ε = BLv⊥ = BLg(sinθcosθ)t = BLg(sin2θ)t/2． （2）设棒运动时间t时的速度为v，则动生电动势为