必修一数学抽象函数习题精选含答案.doc

抽象函数单调性和奇偶性 1. 抽象函数的图像判断单调性 例1．如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是( ) A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为 C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为 分析：画出满足题意的示意图，易知选B。 2、抽象函数的图像求不等式的解集 例2、已知定义在上的偶函数满足，并且在上为增函数。若，则实数的取值范围 . 二、抽象函数的单调性和奇偶性 1.证明单调性 例3．已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)0, g(1) =2,g(x) 是增函数. . 求证： f(x)是R上的增函数. 解:设x1x2因为，g(x)是R上的增函数, 且g(x)0。 故g(x1) g(x2) 0。 g(x1)+1 g(x2)+1 0， 0 - 0。 f(x1)- f(x2)=- =1--(1-) =-0。可以推出：f(x1) f(x2)，所以f(x)是R上的增函数。 例4．已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。 证明：对一切有。且，令，得， 现设，则，，而 ，设且， 则 ，即为减函数。 2.证明奇偶性 例5．已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。 分析：在中，令，得 令，得 于是，故是偶函数。 三、求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。 例6．已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。 解：是偶函数，且在（0，1）上是增函数， 在上是减函数， 由得。 （1）当时，，不等式不成立。 （2）当时， （3）当时， ， 综上所述，所求的取值范围是 四、不等式 这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“”，转化为代数不等式求解。 例7．已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。 解：设且， 则， ，则 ， ， 故为增函数， 又 因此不等式的解集为。 五、综合问题求解 解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“”。 例8.设函数定义在R上，当时，，且对任意，有，当时。（1）证明； （2）证明：在R上是增函数；（3）设， ，若，求满足的条件。 解：（1）令得， 或。 若，当时，有，这与当时，矛盾， 。 （2）设，则，由已知得，因为，，若时，，由 ， （3）由得 得（2） 从（1）、（2）中消去得，因为 即。 例9. 已知是定义在上的奇函数，且,若时，有.（1）判断函数在上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式：f(x+)＜f(). 解：（1）设任意x1,x2∈［－1,1］,且x1x2.由于f(x)是定义在上的奇函数， ∴f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1). 因为x1x2,所以x2+(－x1)≠0, 由已知有＞0，∵x2+(－x1)=x2－x10 ∴f(x2)+f(－x1)0,即f(x2)f(x1),所以函数f(x)在［－1，1］上是增函数. （2）由不等式f(x+)＜f()得,解得－1x0,即为所求. 例10、已知设函数定义在的一切实数，对定义域的任意都有，且当时，， 求证：； （2）在上是增函数。 （3）解不等式。