抽象函数练习题教师版.doc

抽象函数练习题教师版 1.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手： 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得：f(0)=0, ∴f(1)=, 2.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.1 解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 , 又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1 即 g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1), 故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1. 3. f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则 （ 4，. 。2000 .( ,原式=16) 5、对任意整数函数满足：，若，则 C A.-1 B.1 C. 19 D. 43 6、函数f(x)为R上的偶函数，对都有成立，若，则=（ ）（B） A . 2005 B. 2 C.1 D.0 7，设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在,使得，求函数f(x)的值域。 解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故 f(0)≠0，必有 f(0)=1。 由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此， ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)0. 8，设对满足x≠0,x≠1的所有实数x，函数f(x)满足, ,求f(x)的解析式。 解:---- （2） ---（3） 9，已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x). 解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，代入比较系数得:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1. 小结：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 10，已知是定义在R上的偶函数，且恒成立，当时，，则当时，函数的解析式为（ D ） A． B． C． D． 解：易知T=2，当时,,∴; 当时,∴.故选D。 11， 解:， 12，已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. （Ⅰ）若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a，求f(a)； （Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0，求函数f(x)的解析表达式。 13，函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0， （1）求的值； （2）对任意的，，都有f(x1)+2logax2成立时，求a的取值范围． 解：（1）由已知等式，令，得，又∵，∴． （2）由，令得， 由（1）知，∴．∵，∴在上单调递增，∴．要使任意，都有成立，必有都成立.当时，,显然不成立．当时，，解得∴的取值范围是． 14，设f(x)定义于实数集上，当x0时，f(x)1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)， 求证：f(x)在R上为增函数。 证明：设R上x1x2，则f(x2-x1)1， f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于f(x1)，因为f(x1)的正负还没确定) 。 取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f（0）=0,令x0,y=0，则f(x)=0与x0时，f(x)1矛盾，所以f(0)=1，x0时，f(x)10,x0时，-x0，f(-x)1,∴由，故f(x)0，从而f(x2)f(x1).即f(x)在R上是增函数。（注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性） 15，已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且