计量学-向量自回归和自回归条件异方差模型.pptVIP

向量自回归和自回归条件异方差模型 本章介绍时间序列的向量自回归和自回归条件异方差模型。 向量自回归模型是自回归移动平均模型从单个时间序列到多个时间序列的扩展。 自回归条件异方差模型主要考察时间序列数据波动性的变化，在金融领域的风险分析中有重要应用。 本章介绍这两种模型的意义和特征、参数估计、检验和应用等。 第一节 向量自回归模型 一、向量自回归模型概述 ARMA模型分析针对单个时间序列，存在忽略经济变量之间内在联系的缺点。 克服这个缺点的方法是把ARMA模型扩展到针对多个时间序列，把ARMA模型中的变量换成向量。 因为自回归移动平均模型可相互转换，而且在向量变量的情况下自回归模型比较方便，因此一般主要考虑向量变量的自回归模型，称为“向量自回归模型”（Vector autoregression model，VAR）。 (一)VAR模型的表示形式 把p阶自回归模型AR(p)中的变量和误差项都变成向量，系数变成系数向量或矩阵，就得到一个p阶向量自回归模型VAR(p)： 引进滞后算子，向量自回归模型可以写成 或者 引进下列记号： 则p 阶向量自回归模型VAR(p)，也可写成一阶自回归形式VAR(1)： 其中 的协方差矩阵为 为了分析的方便，也常常假设 服从多元正态分布，即 ~ ，其中 可以包含一定自相关性，即 是对称正定矩阵，但不一定是对角线矩阵。 当 满足该假设时，上述向量自回归模型也称为“高斯向量自回归模型”。 向量自回归模型VAR(p) 展开，可以写成每个变量对常数项和向量中所有变量的1-p阶滞后项回归的，n个方程构成的联立方程组系统 这个展开形式上与一般联立方程组模型相似，但其实有本质差异： 1、VAR模型不强调变量之间关系的理论根据，模型形式、变量、滞后期数等并不以特定经济理论为依据，模型变量也不存在内生、外生之分，每个方程都包含所有的变量； 2、VAR模型的主要作用是进行预测分析而不是经济结构分析； 3、由于模型结构性质的差别，VAR模型的参数估计和检验等与联立方程组模型也有差别。 （二）平稳性分析 1、平稳性定义 如果向量自回归过程 的一阶矩 和二阶矩 关于时期t都是独立的，则称为“协方差平稳的”，或者直接称“平稳的”。平稳意味着向量中包含的各个时间序列都是平稳的。 2、平稳性条件 利用一阶自回归形式 进行迭代可得 因为平稳过程意味着随着时间的不断增大，扰动的效应必须逐渐消失，因此上述向量自回归过程的平稳性要求随着s 不断增大 因此矩阵F的特征方程 的根都必须满足 ，也就是在单位圆内。 另一种表达方法: 满足方程 的所有 值（根）都必须在单位圆之外。 (三)性质 1、均值 对于平稳的向量自回归模型 ，两边求数学期望得： 可得到其均值为： 2、MA(∞)表示方法 一个平稳的向量自回归过程可以写成一个白噪声向量的无限移动平均过程MA(∞)： 其中 是上述移动平均表达式的滞后算子多项式， 与自回归形式的滞后算子多项式 之间的关系为 ，意味着 二、向量自回归模型参数估计 普通最小二乘估计能得到一致估计。 因为不同方程的误差之间有相关性，因此ML能得到更有效的估计 在模型误差项服从多元正态分布的前提下，模型参数向量的最大似然估计与最小二乘估计是相同的，只是误差方差的估计不同。 以误差向量服从多元高斯过程的高斯向量自回归模型为例，说明最大似然估计。 一个p阶高斯向量自回归模型即 其中 ~ 。 如果已经得到向量时间序列 的 个时期的观测值，那么 因为 在时期t为常数，而 ~ ，因此 引进记号: 上述 服从的条件分布可以写成下列紧凑形式 因此第t个观测值的条件密度为 向量自回归模型的（条件）似然函数为: 对数似然函数则为 可以证明其中的最大似然估计实际上与最小二乘估计相同，为 其中 第j行就是 对 回归得到的回归系数向量。 的最大似然估计则是 最大似然估计肯定是一致估计，其渐近分布是渐近正态分布 其中 ， 是克罗内克积。 第i个系数估计量 渐近分布 如果 由其一致估计 代，而 则由一致估