最优化计算方法课后习题答案----高等教育施光燕.doc

习题二 包括题目： P36页 5（1）（4） 5（4） 习题三 包括题目：P61页 1(1)(2); 3; 5; 6; 14；15(1) 1(1)(2)的解如下 3题的解如下 5,6题 14题解如下 14. 设, 求点在处的牛顿方向。 解：已知 ，由题意得 ∴ ∴ ∴ 15（1）解如下 15. 用DFP方法求下列问题的极小点 （1） 解：取 ，时，DFP法的第一步与最速下降法相同 ， ， ， 以下作第二次迭代 ， 其中， ， 所以 令 ， 利用 ，求得 所以 ， 以下作第三次迭代 ， ， 所以 令 ， 利用 ，求得 所以 ， 因为 ，于是停止 即为最优解。 习题四 包括题目： P95页 3；4；8；9(1)；12选做；13选做 3题解如下 3.考虑问题，其中 （1）画出此问题的可行域和等值线的图形； （2）利用几何图形求出此问题的最优解及最优值； （3）分别对点指出哪些约束是紧约束和松约束。 解：（1）如图所示，此问题的可行域是以O点为圆心，1为半径的圆的上半部分；等值线是平行于直线x2=2x1的一系列平行线，范围在如图所示的两条虚线内。 （2）要求f的最小值，即求出这一系列平行线中与x2轴相交，所得截点纵坐标的最大值。显然当直线在虚线1的位置，能取得极值。如图求出切点，此点即为最优解，解得最优值 （3）对于区间集S可以简化为g1: g2: 对于点，g1和g2均为该点处的紧约束； 对于点，g1和g2均为该点处的松约束； 对于点，g1为该点的松约束，g2为该点的紧约束； 对于点，g1为该点的紧约束，g2为该点的松约束。 4题解如下 4.试写出下列问题的K-T条件，并利用所得到的表达式求出它们的最优解： （1） s.t. （2） s.t. （1）解：非线性规划的K-T条件如下： （1） （2） （3） 再加上约束条件 （4） 为求出满足（1）~（4）式的解，分情况考虑： ①若（4）式等号不成立，即，那么由（2）式得，将代入（1）式解得，，所得值不满足的条件，故舍去。 ②若（4）式等号成立，由（1）式可以解得，，代入（4）式有： 解得 因为，所以，那么，，满足以上所有条件。 综上所述，所求非线性规划有唯一的K-T点为： (2)解：非线性规划的K-T条件如下： （1） （2） （3） 再加上约束条件 （4） 为求出满足（1）~（4）式的解，分情况考虑： ①若（4）式等号不成立，即，那么由（2）式得，将代入（1）式解得，，所得值满足以上所有约束。 ②若（4）式等号成立，由（1）式可以解得，，代入（4）式有： 解得 因为，所以所得值均舍去，该情况不成立。 综上所述，所求非线性规划有唯一的K-T点为： 8题解如下 8 考虑问题 Min x12+x1x2+2x22-6x1-2x2-12x3 S.t. X1+x2+x3=2 （1） -x1+2x2≤3 （2） X1,x2,x3≥0 （3） 求出点（1,1,0）处的一个下降可行方向. 解：首先检查在点（1,1,0）处哪些约束为有效约束。检查易知（1），X3≥0为有效约束。设所求可行方向d=(d1,d2,d3)T。根据可行方向d的定义，应存在a0，使对?t∈（0，a）能有 X+td=(1+td1,1+td2,0+td3)T 也能满足所有有效约束： (1+td1)+(1+td2)+(0+td3)=2 td3≥0 经整理即为 d1+d2+d3=0 d3≥0 满足上述不等式组的d=(d1,d2,d3)T均为可行方向。现只求一个可行方向，所以任取d3=1，求解d1+d2=-d3 得d1+d2=-1，可任取d1=1，d2=-2得一可行方向 d=（1，-2，1）T 考虑下降性 由题可知：将目标函数化为f(x)=1/2XTQX+bTX+C 从而 ▽f=QX+b即 ▽f（1,1,0）=（-3,3，-12） 因为 ▽f（1,1,0）Td=-210 表明d=（1,-2，1）T为原问题在x=（1,1,0）T处的