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幂函数及图象变换 编稿：丁会敏　　　审稿：王静伟 【学习目标】 1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况. 2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题． 3．掌握初等函数图象变换的常用方法． 【要点梳理】 要点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数. 要点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：等都不是幂函数. 要点二、幂函数的图象及性质 1.作出下列函数的图象： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 要点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； (3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象； (2)若幂函数的定义域为(0，+)或[0，+∞)，作图已完成； 若在(-∞，0)(-∞，0]y轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定 (1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． (3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4.幂函数值大小的比较 (1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． (2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 要点三、初等函数图象变换 基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲） 由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数． 如：的图象变换， （1）平移变换 y=f(x)→y=f(x＋a)）、右（）平移 y=f(x)→y=f(x)＋b）、下（）平移 （2）对称变换 y=f(x) →y=f(－x), 图象关于y轴对称 y=f(x) →y=－f(x) , 图象关于x轴对称 y=f(x) →y=－f(－x) 图象关于原点对称 y=f(x)→ 图象关于直线y=x对称 （3）翻折变换： y=f(x) →y=f(|x|),把y轴右边的图象保留，然后将y轴左边部分关于y轴对称．（注意：它是一个偶函数） y=f(x) →y=|f(x)| 把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称 ：若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称是幂函数，求、的值． 【答案】 【解析】由幂函数的概念易得关于、的方程组． 由题意得解得 即为所求． 【总结升华】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 举一反三： 【变式1】已知幂函数的图象过点，则= ． 【答案】 【解析】设，则由图象过点，可得，即 ，所以，即． 类型二、幂函数的图象 例2.给定一组函数的解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，如右图的一组函数图象．请把图象对应的解析式序号填在图象下面的括号内． 【答案】⑥④③②⑦①⑤ 【解析】根据幂函数的图象特征确定相应的图象． 由第一、二、三个图象在第一象限的图象特征可知，而第一个图象关于原点对称，即为奇函数；第二个图象关于轴对称，即为偶函数；第三个图象在轴左侧无图象，即在上无意义，因而这三个图象应分别填⑥④③． 由第四、五、六个图象在第一象限的图象特征可知，而第四个图象关于轴对称，即为偶函数；第五个图象关于原点对称，即为奇函数；第六个图象在轴左侧无图象，即函数在上无意义，因而这三个图象应分别填②⑦①． 最后一个图象对应的幂指数大于1，故填⑤． 【总结升华】确定这类图象对应的函数解析式的顺序是：先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在