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第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 3.1 目的要求 1．掌握矩阵的初等变换及用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法。了解矩阵等价的概念． 2．理解矩阵秩的概念并掌握其求法． 3．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件． 4．掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法． 3.2 重要公式和结论 3.2.1 矩阵的秩 1．若，则. 2．对于任意矩阵，总可以通过初等行变换将其化为行阶梯形，的行阶梯形中非零 行的行数就等于矩阵的秩. 3．矩阵秩的性质： ① ； ② ； ③ 若，则； ④ 若、可逆，则； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ 若，则. 3.2.2 初等矩阵与矩阵求逆 1．三种初等变换对应着三种初等矩阵，且初等矩阵具有以下性质： ，，， ，， . 2．设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵； 3．方阵可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵，使得. 4．方阵可逆的充分必要条件是. 5．阵的充分必要条件是存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使． 6．对于方阵，若，则（1）可逆；（2）． 7．设有阶矩阵及阶矩阵，若，则（1）可逆； （2）． 3.2.3 线性方程组的解 1．元线性方程组， ① 无解的充分必要条件是； ② 有解的充分必要条件是； ③ 有唯一解的充分必要条件是； ④ 有无穷多解的充分必要条件是. 2．元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是. 3.3例题分析 例3.1 设，求． 分析 对于一个具体的矩阵求秩问题，先对矩阵进行初等行变换化为行阶梯形，根据行阶梯形的非零行数判断矩阵的秩. 解 ，故. 例3.2 设，则的秩( ) . (A) 必为2 (B) 必为3 (C) 可能为2，也可能为3 (D) 可能为3，也可能为4. 分析 先将化成行阶梯形，再确定矩阵的秩. 解 因为，可知，当时，，否则. 例3.3 设4阶方阵的秩为2，其伴随矩阵的秩为( ). (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解 由4阶方阵的秩为2，其伴随矩阵，故的秩为0. 例3.4 设阶矩阵，，则( ). (A) 1 (B) (C) -1 (D) 解 因为，所以.又，故或.当时，易知，当时，. 例3.5 设是3阶矩阵，已知，则= . 解 因为，所以为可逆矩阵.又 可得.故. 例3.6 设是阶矩阵的伴随矩阵，证明 (1) ， (2) 分析 联想到矩阵的秩及的定义. 证明 (1) 当时，由，知，故.当时，由，得.因为假设，于是是可逆矩阵，由， 知，与 矛盾.因此，当时也有. (2) 当时，则，由知，两边取行列式得，即，所以； 当时，由定义知有阶非零子式，这时， 即，而，由性质知，推得， 综上可得； 当时，知所有阶子式全为零，即， 由此可知. 例3.7 设,()，求. 解 因为，知 由题知，，故. 因为 故 . 例3.7已知，求. 分析 矩阵的逆矩阵求法有两种方法，一种是利用公式，另一种是利用矩阵的初等变换，且后一种是比较常用的方法，特别是对于阶数高于3阶以上的矩阵. 解 故 例3.8 设，求，其中. 解 由得 所以 例3.9方程组的系数矩阵记为，若存在3阶矩阵， 使，则( ). (A)且 (B) 且 (C)且 (D) 且 分析 齐次方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于3. 例3.10 求齐次线性方程组的通解. 解 系数矩阵经过初等变换得 由知方程组有无穷多组解,得同解方程组 移项后得 令， 得 , 例3.11 求解线性方程组. 解 对增广矩阵进行初等行变换 ，所以方程组有无穷多解，令，得 例3.12设有线性方程组 问取何值时，此方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解. 分析 因为方程组的系数矩阵为方阵，所以可以先讨论时的取值，给讨论带来方便. 解 因系数矩阵为方阵，故方程有唯一解的充分必要条件是系数行列式. 而 当时， 知，故方程组无解. 当时， 知，故方程组有无穷多个解，且通解为. 例3.13 求解，其中，. 分析 本题为求解非齐次线性方程组，通常先把增广矩阵通过行变换化成行最简形，然后再求通解. 解 当时， 方程的通解为 当时， 方程的通解为 1