倾斜椭圆柱管中流体Poiseuille公式.doc

倾斜椭圆柱管中流体Poiseuille公式 　 【摘要】; 　　应用Newton粘滞力定律和Bernoulli方程推导倾斜椭圆柱管中流体的Poiseuille公式。 毕业论文 【关键词】; Poiseuille定律　Newton粘滞力定律 Bernoulli方程 毕业论文 　　The Fluid Poiseuilles for Rmula in Elliptic Cylindrical of Inclination 毕业论文 ;Key words the poiseuilles formula; newton law bernoulli’s equation; 毕业论文 　　一般文献都只讲述水平圆管流体的Poiseuille定律，但实际应用中，不仅研究圆柱管且水平置放的情况，而且也会出现非圆柱管和非水平的情况。本研究推证倾斜椭圆柱管中流体的Poiseuille定律的公式。 　　 　　1 公式的推导 毕业论文 ; 设流体在倾斜椭圆柱管中作稳定层流，如图1所示。 毕业论文 ; 椭圆柱管截面方程为：x2a2+y2b2=1(1) 毕业论文 ; 在广义柱坐标下 x=ar cosφy=br sinφ; (0≤r≤b,0≤φ≤2π)(2) 毕业论文 ; 易算得椭圆环 r-r+dr 的面积： 毕业论文 ; ds=a cosφ-ar sinφ b sinφbr cosφ dr 〖JF(Z〗2π0dφ〖JF)〗=2πbrdr(3) 毕业论文 ; 由Bernoulli方程 12ρV2+p+ρhg=C(4) 毕业论文 　　可知，因为是稳定流动?V?t=0,第一项为零。第二项是流体的合压强，在此，其一是作用在椭圆环 r-r+dr上的合压力，为： F=（p1-p2)ds=2πab(p1-p2)rdr(5) 毕业论文 ; 其二是流体的粘滞力，为： 毕业论文 ; df=-ηldsdV(r)dn(6) 毕业论文 ; 式（6）中，ds为椭圆柱流管的侧面积元，在广义柱坐标下，其值为： 毕业论文 ; ds=1+dydx2dx=a2 sin2φ+b2 cos2φ rdφ(7) ; 式（6）中，dV(r)dn为速度梯度，在广义柱坐标下，其值为： ; dV(r)dnr=-|ΔV(r)|=?V(r)? x i+?V(r)? y jr =aba2 sin2φ+b2 cos2φ; ( cos2φa2+ sin2φb2) dV(r)drr(8) 毕业论文 ; 将式（7）和式（8）代入式（6），算得粘滞力为： 毕业论文 ; df=-ηlab( cos2φa2+ sin2φb2) dV(r)drrdφ(9) 毕业论文 ; 积分式（9），算得椭圆柱流层 r-r+dr的内侧面的粘滞力为： f内=-ηablr dV(r)drr〖JF(Z〗2π0( cos2φa2+ sin2φb2) dφ〖JF)〗 =-πηla2+b2ab r dV(r)drr(10) 毕业论文 ; 在式（10）中作变量置换 r?r+dr,即得流层 r-r+dr 外侧面的粘滞力为： f外=-πηl a2+b2ab(r+dr) dV(r)drr+dr(11) 毕业论文 ; 再将式（11）与式（10）相减，注意df(x)=f ‘(x)dx, rdV(r)drr是原函数，（r+dr)dV(r)drr+dr是自变量为r+dr时函数，于是得：f内-f外=πηla2+b2ab r （r+dr)dV(r)drr+dr-r dV(r)drr=πηla2+b2ab d r dV(r)dr(12) 毕业论文 ; 式（4）中第三项是椭圆管倾斜，流体作用在椭圆环 r-r+dr 上的重力，为： F1=ρg(h1-h2)ds=2πabρg(h1-h2)rdr(13) ; 　　将式（5）、式（12）和式（13）代如式（4）中，移项整理，有：d r dV(r)dr=-2a2b2［(p1-p2)+ρg(h1-h2)］ηl(a2+b2) rdr(14)积分式（14）一次，有： 毕业论文 ; r dV(r)dr=-a2b2［(p1-p2)+ρg(h1-h2)］ηl(a2+b2) r2+C1(15) 毕业论文 　 　　 代入速度梯度在轴线上为零的条件，即; dV(r)drr?0=0，知C1=0。将式（15）再积分一次，有：V（r)=-a2b2［(p1-p2)+ρg(h1-h2)］2ηl(a2+b2) r2+C2(16) 毕业论文 ; 代入流速V（r)在管壁处为零的边界条件，即［V（r）］r=1=0，有： C2=a2b2［(p1-p2)+ρg(h1-h2)］2ηl(a2+b2)(17) 毕业论文