JFNK方法迭代过程与物理约束.pdfVIP

第29卷第5期 计 算 物 理 V01．29，No．5 CHINESE OF 2012年9月 JOURNALCOMPUTATIONALPHYSICS Sep．，2012 文章编号：1001二246X(2012)05-0654-07 JFNK方法迭代过程与物理约束 安恒斌， 莫则尧 (北京应用物理与计算数学研究所计算物理实验室，北京100094) 摘要：对Jacobian—free JFNK方法进行改进．改进后的JFNK方法迭代过程中的迭代序列总是满足物理约束，克服了迭代过程中可能-出现 的非物理现象．采用改进之后的算法求解二维三温能量方程，可以保证在迭代过程中不会出现负温度问题，使 JFNK方法的健壮性得到提高． 关键词：JFNK；Newton—Krylov方法；迭代方法；物理约束；二维三温能量方程 中图分类号：0241．7 文献标识码：A U 引吾 采用各类非线性迭代方法求解实际问题时，常常需要考虑迭代过程中的物理约束．例如，迭代求解能量 方程时，迭代过程中需要保持能量(温度)非负．采用Jacobian—free 方程时，在迭代过程中需要评估非线性代数方程的残差．由三温能量方程离散之后得到的代数方程的表达式 中涉及到温度的开方运算，因此在迭代过程中评估非线性残差时，如果温度出现负值，则迭代会发生中断． 为保证偏微分方程离散得到的代数方程组具有满足物理约束的解，需要从三个层面加以考虑．首先，物 理模型(即偏微分方程自身加上合适的边界条件)要保证偏微分方程具有满足物理约束的解．其次，离散格 式需要保证由偏微分方程离散得到的代数方程组具有满足物理约束的解．针对二维变形网格上扩散方程的 九点离散格式¨‘51以及几何奇异点的特殊离散方法M1，均需要具有保正性．再次，对于离散得到的代数方程 组，需要采用合适的迭代方法获得满足物理约束的解．只有以上三方面相互配合，才能共同保证得到满足物 理约束的解．本文中，我们关心的是第三个层面的问题． Jacobi—free 法¨”。．本文对于JFNK方法的迭代过程进行分析，特别是关注迭代过程中可能不满足物理约束的关键步 骤．通过吸收物理量约束的信息，对迭代过程进行改进，使迭代过程总是保持物理约束． 非线性方程组的一般形式 F(x)=0， (1) 其中F：尺“_R“为非线性映射．从数学上看，物理约束其实就是对于映射F的定义域进行限制．设映射F的 定义域为够cR“，由实际模型离散得到的代数方程组 F(X)=0，F：够c (2) R“一尺“． 这里，够中的每个点均满足物理约束．因此，在迭代过程中，迭代点以及每次评估非线性残差时对应的自变 量均落在够内．本文中，我们假定定义域够为R8空间中的超立方体 够=n(z‘，tti)． 收稿日期：2011—10—26；修回日期：2012一01—20 (2010AA012301，2010AA012303)资助项目 作者简介：安恒斌(1974一)，男，宁夏彭阳，副研究员，博士，主要从事大规模非线性方程组迭代解法及并行算法研究， E—mail：811一hengbin@iapcm．ac．ca 第5期 安恒斌等：JFNK方法迭代过程与物理约束 655 此时，工∈够也可记为LzU，其中L=(1i’，U=(11,‘)∈R“． 定义泛函 0 F(工)02：，，：够cR8-+R ，(工)=丁1 ．厂(z)在JFNK算法的全局收敛性设计和分析中具有重要作用‘7“