伪不变凸函数的一些性质.pdfVIP

维普资讯 第l7卷 第2期 长 春 大 学 学 报 Vo1．17 No．2 2007年 4月 JOURNALOFCHANGCHUNUNIVERSITY Apr．2007 文章编号：1009—3907(2007)02—0007一O3 伪不变凸函数的一些性质 胡国英，吴 欧 (重庆师范大学 数学与计算机科学学院 重庆 4O0047) 摘 要 ：引入一种比广义 Hessian矩阵更加广泛的一种 Hessina 矩阵。利用该矩阵讨论 了伪不变凸 函数及严格伪不变凸函数，得到了它们的一些新的性质。同时，也得到了伪不变凸函数及严格伪不 变凸函数的最优解的判别准则。 关键词：伪不变凸函数 ；严格伪不变凸函数 ；Hessina 矩阵 中图分类号：0221 文献标识码 ：A 1 预备知识 定义1．1 A_CR关于 ：R ×R 是不变凸集，如果Vxl，2eA，VAE[0，1]，有 2+Aa?(xl，2)EA。 定义1．2 A R 关于 ：R ×R 是不变凸集，在A上可微，在 A上是伪不变凸函数 ，如果 Vxl，2EA，有 (l，2)vf(2)≥0= 1)≥．(2)。 定义1．3 A_CR 关于 ：R ×R R 是不变凸集 在A上可微 在A上是严格伪不变凸函数，如果 Vxl，2EA，有 (l，2)Vf(2)≥0=厂(1) 2)。 条件c：令 ：R ×R ，则Vxl，2eA，VAE[0，1]，有 田(2，2+A (l，2))=一an(xl，2)； ，|7(l，2+Aa?(xl，2))=(1一A)叼(l，2)。 引理 1．1 设 ：R ×R 满足条件 C，则Vxl，2eA，VAE[0，1]有 (2+Aa?(xl，2)，2)=A (l，2)。 引理 1．2 设 ： R具有二阶连续偏导数，则 +p)= )+vf()，P+{_p日()p，x,pER。 (1) 其中 = +却 ，A∈(0，1)；vf()是 )在 点的梯度； 。， 是 。与 的内积。另外，式(1)还可 表示为 +p)= )+V )，P+ 日()p+lJP lJa， (2) 其中当llP0 时，a 。 2 主要结论及证明 定义2．1 设 ： R具有二阶连续偏导数 ，A R 关于 ：R ×R JR是不变凸集，则Vx， EA，定 义广义不变Hessina矩阵 。， c=号}妻=!}} +日c。 收稿 日期：2007-01-10 作者简介：胡国英(1982．)，女，辽宁省葫芦岛市人，重庆师范大学数学与计算机科学学院硕士生，主要从事运筹学与控制论的 研究。 维普资讯 8 长 春 大 学 学 报 第 l7卷 其中E是n阶单位矩阵，／／(x)是 )在 点的Hessian矩阵。下面恒设f-阶可微。 定理2．1 A R 关于r／：R ×R-+R 是不变凸集，，在A上是伪不变凸函数，则对于任给的满足 1) 2)的 l，2∈A， =2+A叼(l，2)，AE(0，1)，使n(xl，2) ， ()n(xl，2)O。 ， 证明：设 。， EA且满足 。) )则有n(x。， )vf( )O。