算术应用题的本质是学建模.doc

算术应用题的本质是数学建模 张奠宙 摘要 数学有纯粹数学与应用数学两大部分。 小学数学有数与数的运算法则以及数学应用两大部分。小学数学应用题是相对独立的， 其本质是数学模型的建立。“问题解决”的内容比较宽泛，它具有理念改革的指导意义， 却不能代替数学应用题的教学。小学数学应用题要有类型的区分， 但不能“类型化”。儿童有丰富的想象力，模拟情景往往比真实情景更真切。应用题能够贴近学生生活的只能是少数，更多的是科学实践型、模拟情景型的题目。但是， 我们应该更多开拓一些新型的应用题。 本文提供了一些参考题。 引言 应用题的出现渊远流长。古埃及的纸草书、中国的《算数书》等古代数学典籍， 都是应用题的汇编。 从有历史的记载来看，算术应用题一向是初等教育中的重要内容。 直到第二次世界大战爆发前的1930年代， 世界各国的小学数学课程，大多包括算术应用题， 并且成为小学数学最难学习的部分之一。 20世纪中叶以后， 小学数学应用题教学出现了两个重大的变化。 首先是代数方法逐渐取代算术应用题。中学里学习的代数方法，较之笨重的算术方法，简单而有效，于是代数思想方法不断地渗透到小学数学中来， 应用题的算术解法有所淡化。 其次是问题解决口号的提出。1980年， 美国提出“问题解决(Problem Solving)”的口号， 认为解决非常规的数学问题，培育创新精神， 是数学教育的主要追求， 应该贯穿到数学教育的每一个环节之中。 小学数学应用题的僵化模式， 成为改革的目标之一。 1949年建国以来， 我国大陆地区的小学数学课程一直把小学算术应用题的教学放在重要位置。 但是， 整体上也随着上述的两股思潮而发生渐进式的变化。 在21世纪初实行的《全日制中小学数学课程标准（实验稿）》中， “数与代数“成为小学数学的基本学习领域。代数，从此正式进入小学数学范畴，数学应用题的教学也大量渗入代数方法。同时，应用题则不再成为独立的教学板块，而是贯穿在“数与代数”“空间与几何”“统计与概率”各个领域之中。 但是，用代数方法完全取代算术方法是不可取、也不可能的。 算术方法有它独特的实用价值和思维训练价值。 数学问题的算术模型和代数模型， 各有所长， 应该相互融合， 而不是彼此排斥。同时，“问题解决”是一个宽泛的口号， 整个数学教学都是在“解决问题”。如果用“问题解决”来取代“算术应用题”， 似乎偏离了“应用”的 本意。回避“应用题”带来的 问题， 并不利于“应用题”的教学改革。小学数学中文字型应用题的求解有其特殊的规律，适当的集中教学， 是不可缺少的。 时至今日， 用建立数学模型的观点加以诠释，是改革小学应用题教学的根本出路。 一、 什么是 “小学应用题” 数学的发展有两个原动力， 一是要解决大自然和社会现实提出的数学问题，二是要解决数学内部生成的数学问题。 前者的研究成果是应用数学， 后者的研究成果成为纯粹数学。这二者相辅相成，相互渗透， 共同发展。 不过，归根结底，社会生产力和文化发展的现实需要是数学成长的本源。 小学数学中，数的扩展以及相应的运算规则， 属于纯粹数学范围， 将这些规则和现实相联系， 并应用于现实， 则是小学应用数学的范围。数学是由问题驱动的。小学数学应用题教学， 体现小学数学的应用，培养学生与此相关的数学思维模式。 小学的“数学应用题”， 可以理解为：用算术方法求解的、用自然语言表达的复杂情景问题。 这里有三个要素： 1. 算术方法求解（包括一些简易代数的思考）；数学应用是一个很大的学术领域。这里只研究用小学数学方法可以求解的数学问题。解小学数学应用题主要是用算术方法，目前也使用一些简易的代数思想。 2. 用自然语言表达， 即用文字叙述的问题。这是小学数学应用题的主要特点。西方有时把小学应用题称作“word problem”， 即用自然语言表达的数学问题。 3. 具有复杂的情景。应用题必须表达一种具体“情景”， 无论是体现生活实际的，或者合理地虚拟编制的，都必须反映一种生动的具体情境， 不能是纯粹的数学问题。情境往往有一些特定的常识性规律， 在解题时需要加以剖析和运用。作为一种具有较高思维价值的问题，“应用题”所呈现的情境， 应当具有挑战性，不同于课本引进新内容时所呈现的简单情景。 例如，5个学生每人有3本书，一共有几本书？ 答案只要写出 5 × 3 = 15 就是。 这也是应用性问题，却不是我们要研究的数学应用题。 二、数学应用题教学的本质是数学建模 数学建模是 20世纪下半叶， 随着计算机技术的发展而形成的数学思想方法。 目前已经成为数学应用的基本模式。数学模型，一般地说， 乃是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系