第二十六章经济与金融的优化问题.PDF

第二十六章 经济与金融中的优化问题 本章主要介绍用 LINGO 软件求解经济、金融和市场营销方面的几个优化问题的案 例。 §1 经济均衡问题及其应用 在市场经济活动中，当市场上某种产品的价格越高时，生产商越是愿意扩大生产 能力（供应能力），提供更多的产品满足市场需求；但市场价格太高时，消费者的消费 欲望（需求能力）会下降。反之，当市场上某种商品的价格越低时，消费者的消费欲望 （需求能力）会上升，但生产商的供应能力会下降。如果生产商的供应能力和消费者的 需求能力长期不匹配，就会导致经济不稳定。在完全市场竞争的环境中，我们总是认为 经济活动应当达到均衡（equilibrium ），即生产和消费（供应能力和需求能力）达到平 衡，不再发生变化，这时该商品的价格就是市场的清算价格。 下面考虑两个简单的单一市场及双边市场的具体实例，并介绍经济均衡思想在拍 卖与投标问题、交通流分配问题中的应用案例。 1.1 单一生产商、单一消费者的情形 例 1 假设市场上只有一个生产商（记为甲）和一个消费者（记为乙）。对某种商 品，他们在不同价格下的供应能力和需求能力如表 1 所示。举例来说，表中数据的含义 是：当单价低于 2 万元但大于或等于 1 万元时，甲愿意生产 2t 产品，乙愿意购买 8t 产 品；当单价等于或低于 9 万元但大于 4.5 万元时，乙愿意购买 2t 产品，甲愿意生产 8t 产品；依次类推。那么的市场价格应该是多少？ 表 1 不同价格下的供应能力和需求能力 生产商（甲） 消费者（乙） 单价（万元/t ） 供应能力（t ） 单价（万元/t ） 需求能力（t ） 1 2 9 2 2 4 4.5 4 3 6 3 6 4 8 2.25 8 （1）问题分析 仔细观察一下表 1 就可以看出来，这个具体问题的解是一目了然的：清算价格显 然应该是 3 万元/t ，因为此时供需平衡（都是 6t ）。为了能够处理一般情况，下面通过 建立优化模型来解决这个问题。 这个问题给人的第一印象似乎没有明确的目标函数，不太像是一个优化问题。不 过，我们可以换一个角度来想问题：假设市场上还有一个虚拟的经销商，他是甲乙进行 交易的中介。那么，为了使自己获得的利润最大，他将总是以可能的最低价格从甲购买 产品，再以可能的最高价格卖给乙，直到进一步的交易无利可图为止。例如，最开始的 -348- 2t 产品他将会以 1 万元的单价从甲购买，以 9 万元的单价卖给乙；接下来的 2t 产品他 会以 2 万元的单价从甲购买，再以 4.5 万元的单价卖给乙；再接下来的 2t 产品他只能以 3 万元的单价从甲购买，再以 3 万元的单价卖给乙（其实这次交易他已经只是保本，但 我们仍然假设这笔交易会发生，例如他为了使自己的营业额尽量大）；最后，如果他继 续购买甲的产品卖给乙，他一定会亏本，所以他肯定不会交易。因此，市场清算价格就 是 3 万元。根据这个想法，我们就可以建立这个问题的线性规划模型。 （2 ）模型建立 决策变量：设甲以 1 万元，2 万元，3 万元，4 万元的单价售出的产品数量（单位： t ）分别是x , x , x , x ，乙以 9 万元，4.5 万元，3 万元，2.25 万元的单价购买的产品 1 2 3 4 数量（单位：t ）分别是y , y , y , y 。 1 2 3 4 目标函数：就是虚拟经销商的总利润，即 9y 1 +4.5y 2 +3y 3 +2.5y 4 −x1 −2x2 −3x3 −4x