两自由度系统的受迫振动.PPT

基地建设目标和总体思路 返回首页 两个质点的运动不是互相独立的，它们彼此受另一个质点 的运动的影响。这种质点或质点系的运动相互影响的现象 叫做耦联，具有耦联性质的系统叫耦联系统。 如上表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方 程式中时，就称这些坐标之间存在静力耦联或弹性耦联。 另外，与上式情况不同，当一个微分方程式中出现两个以 上的加速度项时，称为在坐标之间有动力耦联或质量耦联 4 坐标的耦联 4.l 耦联与非耦联 返回首页 l1 l2 G mg C G x 4 坐标的耦联 4.l 耦联与非耦联 静力耦联或弹性耦联 质心与几何中心不重合 质心 x 几何中心 返回首页 G C l4 l3 G xc C 4 坐标的耦联 4.l 耦联与非耦联 动力耦联或质量耦联 C几何中心 返回首页 4 坐标的耦联 4.l 耦联与非耦联 x = x1 l l1 l2 G mg x1 G 静力与动力耦联 * * * * * * 两自由度系统的振动 返回总目录 振动力学 返回首页 两自由度系统的振动 1 两自由度系统的自由振动 2 拍振 3 坐标的耦联 4 两自由度系统的受迫振动 目录 返回首页 两自由度系统的振动 1 两自由度系统的自由振动 返回首页 自由振动微分方程 取两物体为研究对象，物体离开其平衡位置的位移用x1、x2表示。在水平方向的受力如图示，由牛顿第二定律得 两自由度的弹簧质量系统。两物体均作直线平移，略去摩擦力及其它阻尼。 1 两自由度系统的自由振动 1.1 运动微分方程 返回首页 质量矩阵 刚度矩阵 质量影响系数 刚度影响系数 加速度列阵 坐标列阵 1 两自由度系统的自由振动 1.1 运动微分方程 返回首页 根据微分方程的理论，设方程的解为 这组解可写成以下的矩阵形式 代入微分方程后，化简可得代数齐次方程组 1 两自由度系统的自由振动 1.2 频率方程 返回首页 系数行列式等于零 这就是两自由度系统的频率方程，也称特征方程 1 两自由度系统的自由振动 1.2 频率方程 返回首页 它的展式为 则特征方程可改写为 这就是特征方程的两组特征根 特征根 正值 小于 是两个大于零的不相等的正实根 1 两自由度系统的自由振动 1.2 频率方程 返回首页 这就是特征方程的两组特征根。 特征根 正值 小于 是两个大于零的不相等的正实根 p1、p2就是系统的自由振动频率，即固有频率。较低的频率p1 称为第一阶固有频率；较高的频率p2称为第二阶固有频率。由 式看出，固有频率p1、p2与运动的初始条件无关，仅与振动系 统固有频率的物理特性，即物体的质量、弹性元件的刚度有关。 1 两自由度系统的自由振动 1.2 频率方程 返回首页 第一主振动 第二主振动 振幅比 第二主振型 第一主振型 将第一固有频率p1代入 normal mode the ratio of the amplitudes 1 两自由度系统的自由振动 1.3 主振型 返回首页 系统作主振动时，任意瞬时的位移比和其振幅比相同，即 这表明，在振动过程中，振幅比决定了整个系统的相对位置。 将p1、p2之值代入，得 这表明，在第一主振动中，质量m1与m2沿同一方向运动；在 第二主振动中m1、m2的运动方向则是相反的。系统作主振动 时，各点同时经过平衡位置，同时到达最远位置，以与固有 频率对应的主振型作简谐振动。 1 两自由度系统的自由振动 1.3 主振型 返回首页 根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程的通解，是它的两个主振动的线性组合，即 由运动的初始条件确定。 写成矩阵形式 1 两自由度系统的自由振动 1.3 主振型 返回首页 例 题 k3 x2 例1 试求图示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知各弹簧的弹簧常量k1＝k2＝k3＝k，物体的质量m1＝m，m2＝2m。 分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡 位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示， 它们的运动微分方程分别为 解：（1）建立运动微分方程式 1 两自由度系统的自由振动 返回首页 例 题 质量矩阵 刚度矩阵 将M和K代入频率方程，得 系统的第一阶和第二阶固有频率为 （2）解频率方程，求pi 1 两自由度系统的自由振动 返回首页 例 题 将 、 分别代入，得 （3）求主振型 主振型为 节点 1