二次型讲2周.PPT

第五章 二次型 §1 二次型的矩阵表示 §2 标准型 §3 唯一性 §4 正定二次型 §1 二次型的矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程为 （1） 作适当的坐标转轴（反时针方向）， （2） 二次齐式在其它学科如物理、力学中也经常用到。一般的二次齐式为： 定义 设P是一个数域，一个系数在数域P中的 的二次齐次多项式 （3） 称为属于P上的一个n元二次型，或者简称二次型。 如 定义1 设 ； 是两组文字，系数在数域P中的一组关系式 （4） 称为由 到 的一个线性替换，或简称为线性替换。 如果系数行列式 那么线性替换（4）就称为非退化的。 将（4）代入（3），得到关于 的二次型。所以线性替换将二次型变成二次型 如（2）中 为非退化的。 二次型的矩阵表示：令 二次型（3）可以写成 （5） 二次型（5）的矩阵： 二次型的矩阵表示式为 二次型的矩阵表示式是唯一的。 令 则线性替换（4）的矩阵表示式为 或者 X=CY 二次型 作非退化线性替换 X=CY 定义 2 数域P上的n×n矩阵A,B称为合同的，如果有数域P上可逆的n×n矩阵C，使 1）反身性；2）对称性；3）传递性。 因之，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。因此我们将二次型的标准化变为矩阵的标准化问题。 在变换二次型时，我们总是要求所作的线性替换X=CY是非退化的。因为非退化的变换可以将所得的二次型经逆变换 还原为原来的二次型。这样我们可以从所得的二次型的性质可以推知原二次型的性质。 §2 标准型 定义 只含平方项的二次型 （1） 称为二次型的一个标准形。 定理1 数域P上的任意一个二次型都可以经过非退化的线性变换变成平方和（1）的形式。 证明 我们对变量的个数n作归纳法。 对于n=1,二次型就是 已经是平方和了，现假定对n-1元的二次型，定理的结论成立，再设 分三种情形来讨论： 1） 中至少有一个不为零，例如 。这时 这里 是 的二次型。令 于是非退化线性替换就使 变成 即变成平方和了，根据归纳法原理，定理得证. 它是非退化线性替换，且使 这时上式右端是 的二次型, 且 的系数不为零,属于第一种情况,定理成立. 不难看出，二次型(1)的矩阵是对角矩阵,  反过来，矩阵为对角形的二次型就只含有平方项.按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此，用矩阵的语言，定理1可以叙述为 定理2 在数域P上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定理2也就是说，对于任意一个对称 矩阵A都可以找到一个可逆C使 成对 角矩阵. 二次型 经过非退化线性替 换所变成的平方和称为 的